img128

128

Ole ustalonych h i © (łh|<r, 0<8<l) oraz Iy-y₀l <r połóżmy

2)    G(y) -    <»₀*9h.y)

* 2f

Z założenia, pochodna    istnieje n zbiorze A, A zetem dlo \y-y₀\^r

istnieje pochodna

^{3)    G}'M * 3757- ("o * ^eh'^y>

J

przeto, zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a, mamy

G(y₀.k) - G(y₀) ■= k    (x_o ♦ 6h.y_o . _9lk)

gdzie 0<©^<1. Stęd oraz z (l), (2) i (3), otrzymujemy

F(x₀**) * ^p(*_c) - h[G(y₀+k) - G(y_c)] * hk    (*o*©h, Y^^k)

Niectj £ oznacza dowalnę liczbę dodatnią* lYówczas z ciągłości pochodnej '(jy"h ^w P^u0,ccie (x₀.y₀) wynika, że istnieje liczba dodatnia S>r taka, że

3^Zf

d²f

1-37-37 <*•*> * 37-37    ^{££ du} l^x-^,‘o>^< s< ty-v₀l< *

Stęd, dla Ihl <3, lkl<3, 0<S<1,    0<e₁<l:

37TT- <V^eh'V^ei^k) - -3T37 ⁽VV| < £

czyli

|k! [^f<^xo*-^h'V^k> - ^f(»₀^łh-y₀⁾ - ^f<^xo'^yo*^k) * ^f'V^yo>] -

d²f    I

by óx ^(xo'Vo) |< ^&

Przechodząc * ostatniej nierówności do granicy, gdy k -* 0 i kprzy3to-J$c z faktu, że    istnieje w każdym punkcie zbioru A, otrzymujemy

|h[§7 (v^h'V₀) • $y⁽V^yo'] • co dowodzi, że

a²f

dy ax ^v/'o*^yo^/

(x_,y_rt) Uedla I h r < $

fcl2oHlf"^(xo^łh'^vo> - 37 ^(xo»y_o0" -37*57 (v^y0>

czyli, że zachodzi wzór (*).

Dowód twierdzenia został wi$c zakończony.