img257

Po wprowadzeniu ostatniej zmiennej, w ostatnim (/; + l)-szym wierszu mamy wartości (ze znakiem przeciwnym) wszystkich cząstkowych współczynników regresji oraz resztowej

sumy kwadratów, natomiast w wierszach I, 2.....p i kolumnach 1, 2, p — a więc

tam, gdzie na początku występowała macierz 5 — mamy elementy macierzy odwrotnej 5 ^-1 (ze znakami przeciwnymi). Macierz uzyskano z U po wprowadzeniu wszystkich zmiennych niezależnych można więc przedstawić schematem

-5 -b

r^{hT s}<.

gdzie b oznacza wektor współczynników regresji, a S_e reszlowo sumę kwadratów.

Zaleto metody Gaussa-Jordana jest więc to. że niezależnie od uzyskania końcowych wyników, pozwala na otrzymanie ..po drodze” wyników dla mniejszej liczby zmiennych. Metodę tę można również zastosować, gdy z równania regresji wielokrotnej chce się wyeliminować jakoś zmienno. Problem taki występuje na przykład wtedy, gdy ze zbioru zmiennych, które mogo wpływać na zmienno zależną y, należy wybrać zmienne o największym wpływie. Wtedy na początku określa się równanie regresji, uwzględniające wszystkie zmienne niezależne, a następnie eliminuje się je kolejno, badając, jaki ma to wpływ na dokładność równania określoną na przykład przez resztową sumę kwadratów.

UWAGA: W praktyce często okazuje się, że z uwagi na skorelowanie zmiennych i różnice w icłi wartościach o kilka a nawet kilkanaście rzędów wielkości, macierz 5 jest źle uwarunkowana (tzn. niemal osobliwa). Ponieważ z reguły obliczenia regresji wielokrotnej powierza się komputerowi, zatem należy upewnić się, czy zaimplementowane procedury obliczeniowe posiadają wystarczającą precyzję obliczeń. Najprostszym testem są kontrolne wydruki iloczynu macierzy 5 i 5 który powinien być równy macierzy jednostkowej (55 ^_1 = f). W przeciwnym przypadku może okazać się, że macierz odwrotna do 5 nic stanowi dostatecznie dobrego przybliżenia i otrzymamy błędne wyniki.

12.3 Błędy standardowe predykcji i współczynników regresji

Rozwiązanie układu równań normalnych dostarcz;! ocen cząstkowych współczynników regresji i jeśli na tej podstawie napiszemy równanie regresji, to możemy go użyć do

przewidywania wartości y na podstawie zespołu zmiennych niezależnych .v_L, .....x_p.

Jednakże, jeżeli rozbieżność między wartościami obserwowanymi y_f a przewidywanymi y\ będzie duża, stosowanie równania regresji nic będzie miało sensu. Konieczne jest zatem

17 — Biomctria 257