img349

Problem rozwiązania równania Ar = \x nazywa się zagadnieniem wartości własnych.

D4. 9. Liczba niezerowych wartości własnych macierzy A pokrywa się z rzędem macierzy A.

D4.10. Dla każdej macierzy symetrycznej A zachodzi} równości:

n

lr04) = IX,

im | n

ui=ru

im I

D4.11. Formą kwadratową o macierzy A nazywamy wyrażenie postaci

n

x^T Ax = Z a* Xj X:,    gdzie    x * 0

'.7=1

Jeżeli x^tAx > 0. to mówimy że macierz A jest dodatnio określona i wszystkie wartości własne macierzy A są dodatnie; jeżeli x^TAx £ 0, mówimy że macierz A jest dodatnio półokrcślona i wszystkie wartości własne macierzy A są nieujemne. Formy kwadratowe, których argumentami są zmienne losowe X, odgrywają ważną rolę zarówno w jednowymiarowej, jak i w wielowymiarowej statystyce. Na przykład, suma kwadratów odchyleń od średniej próbkowej

I(.V,.-J)² = Lf-^(X.Y,)^J

może być zapisana w postaci formy kwadratowej obserwacji x, o macierzy

N - 1    _ J_

N    N    *"    N

_ J_    N - 1    _J_

A =    N    N    N

1    _±    ^N~¹

N N    N

Z form kwadratowych korzystamy w analizie wariancji i w tzw. obszarach ufności. Zmienna losowa T² Hotellinga jest taką formą; elipsoida ufności również wyraża się przy użyciu formy kwadratowej.

349