skanuj0014

26

była minimalna. Będzie to spełnione wtedy, gdy pochodne cząstkowe względem a i b będą równe 0, czyli:

Y_J2x_j (ax, +b-y_i) = 0,    £2(5x, + b-y_i) = 0.

i-i    (=i

Wyliczając z tych równań a i b otrzymamy:

Ep, -^aZ*<

a =

;=i    i=i (=1

i=l    i=l

n

Natomiast odchylenia standardowe S- i dane są wzorami:

S- =

n

n-2

iyt-atw-biy,

M    W    i=l

Stosując tę metodę możemy dla dowolnych punktów, niekoniecznie leżących na prostej, otrzymać wartości współczynników a i b. Dlatego powinniśmy zawsze sprawdzić zgodność wyliczonej prostej z punktami pomiarowymi. W tym celu rysujemy wykres wyliczonej prostej i nanosimy na wykres punkty pomiarowe wraz z prostokątami niepewności. Prosta powinna przechodzić przez prawie wszystkie prostokąty niepewności. Jeżeli co najmniej 30% prostokątów niepewności nie przecina prostej należy sądzić, że badana zależność nie jest liniowa, a wyliczona prosta jest jedynie przybliżeniem liniowym badanej zależności.

Współczynniki a i b , niepewności S„ i Sę jak również wykresy otrzymamy posługując się programem WykresLab.

7. Zapis wyników pomiarów oraz niepewności pomiarowych

Zapisując wynik pomiaru podajemy jego wartość oraz niepewność pomiarową wyrażone w tych samych jednostkach. Jeżeli na przykład dokonaliśmy jednokrotnego pomiaru długości stołu przymiarem z podziałką milimetrową i otrzymaliśmy wartość 138,7 cm, to poprawnie zapisany wynik pomiaru wygląda następująco:

L = (138,70 ± 0,05) cm lub L = (1,3870 ± 0,0005) m .

Bez podania jednostki i niepewności pomiarowej każdy wynik jest bezwartościowy.

Wynik pomiaru pośredniego jak również odchylenie standardowe, teoretycznie możemy obliczyć do dowolnego miejsca rozwinięcia dziesiętnego. Jednak sens fizyczny mają co najwyżej dwie cyfry znaczące niepewności. Wynika stąd konieczność zaokrąglania zarówno wyników końcowych, jak i niepewności pomiarowych.

Generalnie obowiązuje zasada, że wynik końcowy podajemy z dokładnością do miejsca, na którym występuje ostatnia cyfra znacząca niepewności.

Poniżej podajemy ogólne zasady zaokrąglania wyników pomiaru oraz niepewności pomiarowych.

1.    Zaokrąglanie zaczynamy od niepewności. W tym celu obliczamy niepewność pomiarową do trzech cyfr znaczących. Aby zdefiniować cyfry znaczące zapiszmy niepewność pomiarową w postaci:

S_x = 0,xyz • 10^m,    (20)

gdzie x e {1,2,.....9}, y,z e {0,1,2,......9}, m należy do zbioru liczb całkowi

tych i jest tak dobrane, by x znajdowało się na pierwszym miejscu po przecinku. Cyfry po przecinku w zapisie (20) nazywamy cyframi znaczącymi niepewności.

Załóżmy na przykład, że niepewność w pomiarze długości L wynosi:

Sjr = 22,8 mm.

Wartość Sj; zapisana w formacie (20) przyjmie postać:

S-£ = 0,228 • 10² mm.

Oznacza to, że cyframi znaczącymi są: 2,2, 8.

2.    Niepewność pomiarową zaokrąglamy do jednego miejsca znaczącego wtedy, gdy x jest większe od trzech. W przeciwnym razie zaokrąglamy do dwóch