Zdjęcia 0172

70

2. WEKTORY

(naprężenie 15 nifttonów) tworzącym kąt 0.1 radiuns z pionem nic może być w równowadze. Jak wielką należy;jjrzylożyć trzecią silę, aby nastąpiła równowaga? Czy odpowiedź jest Jednoznaczna?

^ 16. Proca wykonana przez siły. Stale siły F, =-x+2y+3z (dyn) i F_: = 4i-Sy-2i (dyn) działają równocześnie na cząstkę w czasie przesunięcia z punktu --2(20. 15. 0)(cm) do punktu P(0.0. 7)(cm).

(a)    Jak wielka praca (w ergach) została wykonana pr/.y przesunięciu cząstki ? Wykonana praca (rozdz. 5) jest dana przez F* r. gdzie F jest siłą wypadkową (tutaj F F, r F_;), a r jest przesunięciem.

Odp. —48 ergów.

(b)    Zakładamy, że działają te same siły* lecz ruch odbywa się od R do A. Jaka praca w tym przypadku została ^wykonana pr2y przesunięciu cząstki?

V    **h tczgl(dem punktu. Moment N siły względem danego punktu jest określony wzorem

^rxF, gdzie r. jest wektorem o długości równej odległości tego punktu od punktu przyłożenia siły F. Rozważmy siłę F - — 3x + y-f-5z (dyn) działającą na punkt 7x + 3y-r z (cm). Należy- pamiętać, że F x r * — r x F.

W i**** moment siły w dynach względem początku układu. (Podać wynik na N jako kombinacje liniowe x, y i z.)

Odp. 14x —38y-fl6z.

(b) Jaki jest moment siły względem punktu (0, 10,0)?

Odp. 36x-38y-14z.

18. Iloczyn zccktoroiey jako wyznacznik. Zwróćcie uwagę, że wyrażenie AxB po rozwmięc:u ru składowe zawiera wyrazy w postaci AiBj — BiAj. A to jest właśnie rozwinięcie wyznacznika drugiego rzędu

Ml AA

WbjY

(a) Wykazać, że jeżeli wektory jednostkowe uważamy jako liczby, to

A    A    A

AXB

x y z Ax Aj A_: B_x Rj Bi

(b) Wykazać następnie, że

C-(AxB)

C* Cjr Ci Ax Aj Al Bx By Bt

19. Przebiegi przypadkowe. Cząstka porusza się w przestrzeni po drodze, która składa się z .V odcinków każdy o długości /. Kierunek w przestrzeni każdego odcinka jest zupełnie przypadkowy, między poszczególnymi odcinkami nic ma ani związku, ani korelacji. Całkowite przesunięcie N

s-i>-

1*1

Wykazać, że średni kwadrat przesunięcia między początkowym i końcowym położeniem jest <S'^:> - .W. gdzie nawias klamrowy < > oznacza wartość średnią. [Uteogo: Założenie, że kierunek każdego odcinka jest niezależny od kierunku każdego innego odcinka, oznacza, że <Sp6/>« 0 dla wszystkich i ij z wyjątkiem

i-/)

UZUPEŁNIENIE 1. WEKTORY I WSPÓŁRZĘDNE BIEGUNOWE W PRZESTRZENI

Położenie cząstki we współrzędnych biegunowych w przestrzeni określają wielkości r, 0, <f. 1 utaj r jest wartością wektora r łączącego początek układu z cząstką. 0 jest to kąt między r i osią biegunową e