Zdjęcie 0089

Pokazać dodatnią niezmienniczość pewnego zbioru zwartego leżącego w / ćwiartce układu współrzędnych. W nim leży też globalny atraktor. Znaleźć punkty stałe i zbadać ich stabilność.

27. Zbadać układ zadany w M² przez odwzorowanie

r jx x + Ai

g| r₂y Bi ’ y + B₂

ry

A₂

Pokazać dodatnią niezmienniczość pewnego zbioru zwartego leżącego w I ćwiartce układu współrzędnych. W nim leży też globalny atraktor. Znaleźć punkty stałe i zbadać ich stabilność.

28.    Zastosować metodę Newtona do obliczenia %/5- Przy naturalnym wyborze punktu startu Xo — 2 wiedząc, że %/5 i (2,3) oszacować błąd \x^ — v/5|.

29.    Zastosować metodę Newtona do znalezienia miejsc zerowych funkcji f(x) = x — 2/x — 3Ina:. Przy naturalnym wyborze punktu startu x₀ =

5 wiedząc, że miejsce zerowe leży w przedziale (5,6) oszacować błąd przybliżenia |||

30. Zastosować metodę Eulera do znalezienia rozwiązania zagadnienia początkowego H = 0.7(a;² + 1),    x(0) = 1,

dla kroku h = 0.1 i liczby kroków 15. Porównać to z rozwiązaniem dokładnym.

31. Zastosować metodę Eulera do znalezienia rozwiązania zagadnienia początkowego x' = 0.1x(l — x),    a;(0) = 0.4,

dla kroku h = 0.01 i liczby kroków 100. Porównać to z rozwiązaniem dokładnym.

32. Pokazać, że jeśli / : X —► X jest ciągłe i x jest punktem okresowym o okresie p_X) a y punktem okresowym o okresie p_y m p_x, to

W\x) n W^a(y) = 0.

33.    Pokazać, że f : R —» R, f{x) = kx jest dla \k\ M 1 C^l-strukturalnie stabilne, a dla k = ±1 nie jest.

34.    Pokazać, że jeśli atraktorem globalnym układu f : X —» X jest zbiór jednopunktowy A = {p}, to

p jest punktem stałym,

miarą niezmienniczą układu jest 6_P.

6