Grobler7

140

II. Struktura nauki

ną T nazywa się zbiór konsekwencji logicznych pewnego zbioru zdań Z zwanych aksj ornatami, symbolicznie: T = Cn(X).

—T-wrerd z e ni e m teorii aksjomatycznej T nazywa się zdanie z, które ma dowód. Dowodem nazywa się ciąg zdań p_v ..., p taki, że ostatnie jego zdanie p_n = z i każde zdanie p_i tego ciągu albo jest wyprowadzalna (za pomocą reguł wnioskowania) z poprzednich zdań p_v p._,, albo jest aksjomatem¹. Twierdzenia są zatem konsekwencjami logicznymi aksjomatów. Każde zdanie teorii aksjomatycznej jest więc jej aksjomatem lub twierdzeniem.

Powyższe pojęcie teorii jest pojęciem formalnym, to znaczy

0 tym, czy jakieś zdanie należy do teorii, decyduje wyłącznie jego forma, czyli sposób złożenia ze znaków alfabetu języka, w którym dana teoria jest sformułowana. Chcąc zbadać, czyjakieś zdanie z należy do T, należy zacząć od sprawdzenia, czy znajduje się na liście aksjomatów X. Jeżeli tak, problem jest rozstrzygnięty natychmiast. Jeżeli nie, należy spróbować znaleźć jego dowód, czyli wyprodukować ciąg zdań w sposób, który zależy wyłącznie od aksjomatów

1 reguł wnioskowania. W całej tej procedurze treść zdania ani to, czy jest ono prawdziwe, nie odgrywa żadnej roli. Czy zdanie z jest aksjomatem, można sprawdzić, porównując je znak po znaku ze wszystkimi po kolei aksjomatami na liście, niezależnie od tego, czy wiemy, co to zdanie mówi i co mówią aksjomaty. Czyjakieś zdanie p. jest wyprowadzalne ze zdań p,, ..., p_i__l, można sprawdzić, porównując ten ciąg lub jego podciągi z regułami wnioskowania, które stosują się do zdań o określonej formie, bez względu na ich treść².

Niesprzeczność

Metamatematyka, posługując się formalnym pojęciem teorii, zajmuje się badaniem, pod jakimi warunkami teorie matematyczne posiadają pewne interesujące własności. Najważniejszą z nich jest n i e-sprzeczność: teoria T jest niesprzeczna, gdy dla każdego zdania z rozpatrywanego języka do T należy co najwyżej jedno z pary zdań z, ^_i2. Ze zdań z i ->z wynika dowolne zdanie rozpatrywanego języka. Toteż gdy T nie jest niesprzeczna, należą do niej wszystkie zdania

1. Pojęcie teorii naukowej

141

języka, w którym jest sformułowana. Zatem jasne jest, że niesprzecz-ność jest koniecznym warunkiem akceptacji teorii matematycznej*.

Czy formalne pojęcia teorii i dowodu pozwalają trafnie uchwycić metodę matematyki i naturę poznania matematycznego, jest kwestią sporną, której omówienie odłożymy do rozdziału III, p. 1. W każdym razie metodyczny zabieg Hiłberta, polegający na ujmowaniu zdań matematyki w oderwaniu od ich treści, zainspirował powstanie poglądu zwanego formalizmem^{3 4}. Zgodnie z nim, zdania matematyczne rzeczywiście są pozbawione treści. W takim ujęciu matematyka w ogóle nie jest nauką, bo jej zdania nic nie mówią o świecie. Zamiast tego matematyka jest grą polegającą na przekształcaniu napisów według reguł. Dopisanie zdania do dowodu zgodnie z regułami wnioskowania jest posunięciem w grze, zakończenie dowodu zaś jest w matematyce tym samym co doprowadzenie do mata w partii szachów czy ułożenie ostatniej karty w pasjansie. Myślę, że niektórzy czytelnicy tej książki, rozwiązując na klasówce jakieś skomplikowane równanie, mieli niekiedy wrażenie, że grają w jakąś grę, w której wykonuje się posunięcia w rodzaju wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias, podzielenia równania stronami przez ten czynnik, zastosowania wzoru skróconego mnożenia i tym podobnych, aż wreszcie gra się kończy uzyskaniem ostatecznego rozwiązania.

Formalizm stał się oficjalnym poglądem empiryzmu logicznego. Matematykę uważano nie za naukę - bo nie jest empiryczna - lecz za narzędzie nauki, dostarczające nauce środków wyrazu w rodzaju funkcji różniczkowalnych, macierzy, wektorów, tensorów i reguł wnioskowania w rodzaju reguł rozwiązywania równań, działań na wektorach, tensorach, macierzach i tak dalej. Samo w sobie zdanie w rodzaju

F — m- a

W praktyce dowody się skraca, przyjmując za przesłanki, prócz aksjomatów, poprzednio udowodnione twierdzenia.

Znalezienie dowodu bywa czasami trudne. Ewentualne niepowodzenie nie świadczy jeszcze o tym, że dane zdanie dowodu nie ma. Istnieją też teorie nierozstrzygalne, to jest takie, w których dla pewnych zdań nie da się ustalić, czy mają dowód.

Każda teoria niesprzeczna ma model, w którym wszystkie jej zdania są prawdziwe. W sprawie pojęcia modelu i prawdy por. rozdział II, p. 8.

Hilbert nie był forcnalistą. Dlatego napisałem, że jego zabieg miał charakter metodyczny, czyli został zastosowany do określonego celu poznawczego, bez konsekwencji wykraczających poza ten cel. Zabiegiem metodycznym jest na przykład recenzowanie prac naukowych z utajnieniem autora, po to by jego reputacja nie rzutowała na opinię recenzenta. Po przyjęciu do druku prace przestają być anonimowe.