0000122

DOOATEK I

0.1. ALGEBRY OOOLE'A 3 FUNKCJE BOOLOWSKIE 0.1.1. Algebry Boolo'a

Woźmy pod uwagę dowolny zbiór X. Dzieleniem (ogólnie a-arguaentowym dla e»l) okroślonya w zbiorze X nazywany dowolne przekształcenie m-krotnego iloczynu kartezjeńekie-go zbioru X w zbiór X. Natomlaat działaniem z e -roarguaentowym nazywaay dowolny, ustalony ele -aent zbioru X.

Strukturę algebraiczny nazywa się

zbiór X wraz z pewny lloścly działań d^ (i • 1.....n) okroślo-

nych w tym zbiorzo. Zapiaujomy Jy w pootaci ukłodu <X.d_i*..« ,d_n>.

Nioch <B.v,a,~, 0,1> będzie struktury olgebraiczny. w której B jest nlepustya zblorea, v 1 a ey dzlełanlaml dwuargu-mentowymi, ~ Jeot działoniem Jodnoargumontowya, a O 1 1 działaniami zeroerguaentowyml (uetalonyal eleaentaml zbioru B). Strukturę tę nezywomy algebry Boole*e [24] , [39] , jeżeli działonla ey tak określone, że spełnione ey naatępujęce oztery warunki i

1° Działania v i a ey łyczne 1 przemienne, to znaczy dla dowolnych a,b,c(B spełnione ey równości (av b) vc ■ av(bvc)j

(bAb)AC ■ a a ( b ac );    (0.1.1)

iv b ■ bva | o a b • b a a.

2° Ozlałanle v jeat rozdzielne względem a 1 odwrotnie, to znaczy dla dowolnych a.b.cCB spełnione ey równości:

(0.1.2)

(avb)Ac • (eAc)v(bAe); (aAb)vc ■ (avc)A(bvc).

3

o

Ola dowolnego eCB społnlone ay równości:

« V ( ~ •)    •    1 I    a a ( «- a)    • 0 ;

(0,1,3)

• v 0    ■    o ;    o a 1    ■«,

4°    Elementy    0    11    m    różna (0    / 1),

Z założonych właeności l°f4° można wyprowadzić dalaza właa-ności elgobry Boolo'a. Na przykład, dla dowolnych e.b.c.dtB epałnlona aę naetępujęcc równości

a v a ■ a    (0.1.4)

a v (a a b) • a    (0.1.5)

(ia1i)v(iac) v... v(aAd) • a a (b v o v ... vd)    (0,1.0)

Zauważmy, że wymagana właeności l°+3° aę eymatryczna względem* działać v i a oraz 0 1 1, to znaczy Jeżeli w dowolnaj z tych równości zamienimy działania v na a i odwrotnla oraz atała 0 na 1 l odwrotnla, to otrzymamy równość znajdujęcę aię wśród rów -noścl 1°£3°. Wynika atęd naatępujęca zaaada ogólna, zwana z a* o a d q dualności w algabrach B o o 1 a *a i jeżeli w dowolnaj równości apełnlonej w algebrze Boola'a zamienimy działania vMa i odwrotnla oraz atała O na l i odwrotnla, to otrzymamy takża równość epałnlonę w algabrsa Bool#'a. Zataa

automatycznie możemy uzyakać daleze właanoścli

a a a • a    (0.1.7)

aA (a v b) • a    (0.1.0)

(a v b) a (a vo) a ... A(a v d) ■ a v (b a c a ... Ad)    (0.1.9)

Dualna o«, między innymi, właaności zwana prawaal dt Morgana

~(avb) • (- a) a (« b) i    (0.1.10)

'•(•Ab) • (-*a) v (~b).    (0.1.11)

Określania konkretnej algebry Boole'a polega na określaniu

wazyatkich elementów atruktury elgabraicznaj <B, v, a, 0,1)>. Najazarzej jaat wykorzyetywana tak zwana dwuwartoś-Clowa algebra Bool e'a , w któraj zbiór B Jaat dwualamentowym (B ■ (a,b)). Z warunku 4° wynika wtedy, ża ^D “i⁰*¹}* Pozoatała działania aę określona w taj algebrze w naatępujęcy epoeóbi

243