040 4

Zadania dodatkowe

Rozwiązanie:

Funkcja logarytmiczna jest określona tylko dla liczb dodatnich, zatem (2/n - 3).v^: + (6 - m)x + \j (//; - 9) > 0

Trójmian kwadratowy osiąga wyłącznic dodatnie wartości wtedy i tylko wtedy, gdy A < 0, współczynnik przy .r jest większy od zera: 2/;/    3 > 0.

Uzyskujemy zatem układ nierówności

A < 0 2//; - 3 > 0

b² - 4 ac < 0 2m >3    1:2

(6 /;;)² 4 • (2/;; 3) • -(w - 9) < 0 3    ^{1 2 3 4}

^w> 2

Rozwiązaniom drugiej nierówności jest przedział /;; e Rozwiążemy teraz nierówność kwadratową

(6 - /w)² - 4 • (2/;/ - 3) • ^(//; - 9) < 0 4

36 - 12nr + nr - ^ (2/// 3)(/w 9) < 0

//r- 12² > 0 (/;;+ 12)(//; - 12) > 0

Korzystamy ze wzoru

a¹ - b = {a + b)(a- b)

w, = -12. ///, = 12 Rysujemy pomocniczy wykres m e (-cc, -12) u (12, +x)

A teraz znajdujemy część wspólną:

=x

Odpowiedź

Dziedziną funkcji/jest zbiór liczb rzeczywistych, gdy ni e (-x, -12) w (12, +x)

ZADANIE 17_

Jakie zbiory rozwiązań mają nierówności:

a)    log,(.v + 2) < 2

b)    logi(.y + 2) < 2

c)    log (.v + 2) < 2 ?

Ad a

log_:(.Y + 2) < 2 Rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy dziedzinę nierówności

•' ^ł 2>0    bo liczba logarytmowana musi być dodatnia

X > -2

Dziedziną jest zbiór ( 2. +x)

Teraz rozwiązujemy nierówność

log,(.Y + 2) < log_;4    bo 4 = 2^ł i k>g,2^J = 2 • k>g_;2 = 2

.y + 2 < 4

(porównujemy liczby logarytmowanc z takim znakiem, jak znak nierówności, bo podstawa logarytmu jest liczbą większą od I. funkcja jest rosnąca).

x < 2

79

1

2

36 - 12m + nr - - (2nr - 18/// - 3/w + 27) <0    / • 7

3

7 • 36 - 7 • 12/w + 7nr 1 • ~{2m² - 18/;; - 3/;; + 27) < 0 252 - 84/;; + Inr - 4(2/;;^: - 18/;; - 3/;; + 27) < 0 231-MlR^lnr-M- +22&+I22& - 108 <0

• nr + 144 < 0    /•(-!)

4

nr - 144 > 0