034(1)

Wykres funkcji przedstawiono na rys. 27.

5) Funkcja logarytmiczna >’ = Ig u jest określona tylko dla dodatnich wartości argumentu u. Dlatego funkcja elementarna /₅(x) — lg(x²+3x) będzie określona i ciągła dla x spełniających nierówność x²+3x > 0. Rozwiązując tę nierówność, znajdziemy obszar określoności, a tym samym obszar ciągłości funkcji; składa się on z dwóch odcinków osi liczbowej

—oo < x < —3 i 0 < x < -i-oo

We wszystkich punktach odcinka —3 < x < 0 rozważana funkcja jest nieokreślona, jednak punktami nieciągłości są tylko punkty graniczne x — —3 i x = 0, bowiem tylko w punktach leżących dowolnie blisko na lewo od punktu x = —3 oraz na prawo od punktu x = 0 funkcja jest określona. Wszystkie wewnętrzne punkty odcinka [—3,0], w których funkcja, tak samo jak w punktach x — —3 i x = 0, jest nieokreślona, nie *>ą punktami nieciągłości, ponieważ funkcja jest nieokreślona w pobliżu tych punktów';

y		y /
i	^y x—3 i ;___	-3 0	/ / y=lg(x^2+3x)
0	1 .1 x
	Rys. 27	Rys. 2S

punkt, w którym funkcja jest nieokreślona jest punktem nieciągłości funkcji tylko wtedy, gdy funkcja jest określona w pobliżu tego punktu przynajmniej z jednej strony.

Wyznaczamy jednostronne granice funkcji dla x dążących do punktów nieciągłości od wewnątrz obszaru określoności funkcji. Mamy

lim lg(x²+3x) = Ig 0 — —oo

X-*- — 3—0

lim lg (x²+3x) — lg 0 = —oo x~H o

skąd w^rynika, że rozważana funkcja ma w punktach x = —3 i x — 0 nieciągłości nieskończone (rys. 28).

123. Dla każdej z poniższych funkcji wyznaczyć punkty nieciągłości Gęśli istnieją), znaleźć skok funkcji w punktach nieciągłości i narysować

wykres funkcji:
1) /(*) =	1 --v2 2 ^5	gdy	.x<2
		gdy	x >2
	2]'x,	gdy	0 ^x^l
2) <p(x) =	4 — 2x,	gdy	Kx<2,5
	2x-7,	gdy	2,5 < x < +oo
	2x-\-5,	gdy	— oo < x < — 1
3) F(x) =	1 ł JC	gdy	— 1 < +00

Rozwiązanie. 1) Funkcja f(x) jest określona na całej osi liczbowej. Nie wynika stąd jednak, że jest funkcją ciągłą na całej osi liczbowej, ponieważ nie jest ona funkcją elementarną; jest zadana za pomocą dwóch różnych wzorów dla różnych przedziałów argumentu x i może być nieciągłą w punkcie x = 2, w którym zmienia się jej wyrażenie analityczne.

Znajdujemy granice jednostronne funkcji w punkcie x — 2, gdy argument dąży do tego punktu z lewej oraz z prawej strony. Ponieważ na lewo od

punktu x — 2 funkcja f(x) = — y x², więc

lim f(x) = lim (---= — 2

*-—2-0 \ 2. )

Na prawo od punktu x = 2 funkcja f(x) = x, zatem

lim f(x) = lim x = 2

*—2+0

Granice lewo- i prawostronne są skończone, ale ich wartości są różne. Dlatego, z uwagi na niespełnienie drugiego warunku ciągłości, w punkcie x ~ 2 funkcja jest nieciągła (nieciągłość skończona)_;

Skok funkcji w tym punkcie jest skończony i wynosi

lim /(*) — lim f(x) = 2 —(—2) = 4 *—2+0 *—2-0

67