041(1)

^: • •

a następnie, zgodnie z wzorem 1 la, znajdujemy

,    (a²—x²)' (a^2jrx²Y _ —2x 2x    4a²x

^    a²—x²    a^z- fjc²    a²—x² a^2jrX² x^A—a^A

6) Przekształcamy daną funkcję

y

= In -j/

J= 4 t^,n «^3x -^lD 0 -I-^e3x)] =? 4^[3x ~ ^{ln (1 +e5x)]}

Znajdujemy

; /(0) =

l+e^3x I 2(l+e^3x)

W przykładzie tym, podobnie jak w poprzednim, korzystając z własności logarytmów przekształcono najpierw daną funkcję logarytmiczną do postaci wygodniejszej do różniczkowania.

Ogólnie, jeśli argumentem różniczkowanej funkcji logarytmicznej jest wyrażenie dające się zlogarytmować (iloczyn, iloraz, potęga, pierwiastek), tj. pozwalające na rozpisanie danej funkcji w postaci sumy algebraicznej logarytmów, to lepiej wykonać najpierw logarytmowanie, a następnie różniczkować.

Obliczyć pochodne następujących funkcji:

162. y = 2^x-f 2³*

164. z = 3 i 'xe~^x

e^x-\-e~^x 166. s =    ^

168. y =

e^x—e

cos²;c-21n cos* _v2

170. u = ln 172. r = ln

163. y = a^xl—e~^xl 165. jc ==■ e^aq> sin bcp

167. y = ln (ax^L-\-bx-\-ć)

169. z — jc (1 —ln

l+JC

1 —x² 2e^,p

e*+l^;

171. v = lny | obliczyć r’ (0)

5. Pochodne funkcji cyklometrycznych (kołowych), czyli funkcji odwrotnych do funkcji trygonometrycznych

Wzory ogólne i przypadki szczególne:

12) (arc sin «)' = —. ^U -    12a) (arc sin xf — —,-----

|/1 — u²    yi—xr

13) (arc cos u)' =--

| 1 *— ir

13a) (arc cos .r)'

| l-*²

14)    (arc tg u)' =

15)    (arcctgn)' =

14a) (arc tg x)' =

15a) (arc ctg*)'

1+*²

1

l+w^{2    v}    1+*²

173. Obliczyć pochodne następujących funkcji:

1)    y -= 5arcsinAoc4-3arccosA-.v

a    x

2)    v — arc sin--arc ctg —

a

3)    r = arc tg ~ arc ctg (m ctg x); obliczyć r'(0) i r'(-'^T)

Rozwiązanie: 1) Korzystając z wzorów 12 i 13, znajdujemy

(kxY

y = 5

I l-(kx)² 5 k

,₊₃r—

L V 1 — (A.x)² J

3 k

2 k

| 1— k²x-    | 1 —k¹x^z \^/ 1 —k²x²

2) Posługując się wzorami 12 i 15, mamy

y =

(*)' r fe)'

i+

a

a

i X¹—a² ’    - ^xl a²-\-x²    | x | y x^l—a²

V

x²    a~

przy czym .x ^ 0 oraz | x² = | * |, a nie x. 3) Stosujemy wzory 14 i 15; znajdujemy

(m ctg 9?)'    _ tp¹ —m cosec² q>

1 +

V²

m

1 Ą-m¹ ctg²ę? <p²+m^L 1 -)- m² ctg² <p

m

<p²-\-m² 1 sin²r/>+w²cos²ę>

85