043 4

Układy liniowe 43

(6.4)    y_A(O = w(f₀)g(r-/₀) +

+ X {^u(*o + ^kAt) - »[^?o + (k - 1)A*]} g[* - ('o + ^kAł)]

i. i

Dla układu ciągłego odpowiedź v(f) otrzymamy jako granice:

(6.5)    y(t) = lim y_a(/)

A/—/O

Po przekształceniu:

(6.6)    }V(0=»(fo)£(f-*o) +

*=i

u(t_Q + k&t) - j/[f₀ + (k - l)Ar] At

g[t-(t₀ + kAl)]At

dla sygnałów wejściowych posiadających ciągłą pochodną ii(t) otrzymujemy:

os

(6.7)    y(t)= lw\y_A(t) = u(t_a)g(t-t₀)+ \u{j)g(t-T)dr

At >0    J

>0

Przyjmując jako czas początkowy r₀ =-oo oraz zakładając dodatkowo, że

(6.8)    lim u(t₀) g(t-t₀) = 0,    teJR otrzymuje się wzór zwany całką superpozycyjną (lub całką Duhamela):

-Xi

y(0= |w(r)g(r-r)«7r,

te R

(6.9)

Inną postać całki superpozycyjnej otrzymuje się, przyjmując założenie, że funkcja g(t) jest różniczkowalna oraz wykonując we wzorze (6.9) całkowanie przez części:

7

(6.10)    v(0 = [u(r)g(f-r)]:* - f u(r)—-g(t - r)dz

^J dz

teR

Pizy spełnieniu warunku (6.8) oraz dodatkowo warunku następującego:

(6.11)    lim u(r')g(t- r) - 0,

r—>-hx»