051(1)

Dla punktu A mamy odpowiednio

x—y -f-1 =0 oraz

a dla punktu £

x-j-y —3 = 0 oraz

-v-KH-l =0

x—y—3 = 0

Rys. 40

Rys. 41

/

3) Podstawiając w równaniach cykloidy t = y znajdujemy współrzędne

punktu styczności x = y -1, y ,= 1 (rys. 42). Następnie z równań cykloidy

wyznaczamy pochodną y względem x, jako pochodną funkcji danej w postaci parametrycznej

, dy dx ^y ~ dt ’ dt

sin t

1—cos t

t t

2 sin cos T    t

----— = ctg- -

2 sin² -=■

i obliczamy jej wartość w punkcie styczności: y’_a — y' |yj = 1 •

Podstawiając teraz x_Q, y₀ i yó do równań (1), otrzymujęmy równanie stycznej

2x—2y—tt+4 = 0

oraz równanie normalnej

2.v+2y—n — 0

4)* Znajdujemy pochodną y', a następnie punkt kątowy krzywej, z warunku, że w punkcie tym nie istnieje y\ ale istnieją dwie różne pochodne jednostronne. Mamy

/ =    1|'=±3**

znak plus bierzemy w przedziale x > 1, w którym x³— 1 > O, a znak minus — w przedziale .v < 1, dla którego x^:'— 1 < 0.

Wynika z tego, że punkt o odciętej X = 1 (rys. 43) jest punktem kątowym; w punkcie tym krzywa ma dwie różne styczne jednostronne, o współczynnikach kątowych wynoszących odpowiednio

Rys. 42

Rys. 43

Posługując się wzorami (1), otrzymujemy równania stycznych 3x—y—3 = 0 i 3.r-f y—3 = 0 oraz równania normalnych

xf3y—1=0 i x—3y- 1=0

244. Pod jakim kątem przecinają się dane krzywe:

1) prosta je+y—4 = 0 i parabola 2y = 8—ac²

2)    elipsa jc²-|-4v² = 4 i parabola 4y = 4—5rv²

3)    sinusoida y = sin* i cosinusoida y = cos*

Rozwiązanie: 1) Rozwiązując układ równań prostej i paraboli, stwuerdzamy, że przecinają się one w dwóch punktach: zł(0,4) i 5(2,2); rys. 44.

Następnie z równania paraboli znajdujemy pochodną y względem x

2y' = —2.v, y' = -.v

i obliczamy współczynniki kątowe stycznych do paraboli w punktach A i B, jako wartości szczególne tej pochodnej

y\ — k_A ~ 0, y'_B — I<b — —2

105