065 2

128

Dla 1=0,25 mamy

d^2y	_i|	(dy\	±(dj\ , dt\dx)
dx^2	dx'	Kdx)	dx li

dx²

d y    i

a„ =—— 18e

^y dt²

= —12e^_l

18

dy=--= —6,63,

= --=-4,42,

VII. Funkcja określona równaniami parametrycznymi

Mając pochodne dx/dt i dyjdt możemy obliczyć tangens kąta a. według wzoru

~²' e^4, + l sinh2t e²' — e~²' e^4r— 1

e + l 3,718 __

tga=-«--«2,164,

^e e —1 1,718 ostatecznie więc otrzymujemy a = 65° 12'.

§ 7.2. POCHODNA RZĘDU DRUGIEGO

Drugą pochodną d²y/dx² funkcji danej w postaci parametrycznej obliczamy w sposób następujący:

(7.2.1) co możemy przekształcić dalej uwzględniając związek (7.1.1). Obliczmy licznik:

	l^dy\	d^2y	dx d^2x dy
-j ^d\	M	1 ^d,‘	dt dt^2 dt
<) <“ 1
	\ dt 1		\dt)

Podstawiając powyższą wartość do (7.2.1) otrzymujemy ostatecznie d²y dx d²x dy d²y dt² dt dt² dt

Zadanie 7.7. Obliczyć drugą pochodną d²yjdx² funkcji określonej równaniami p#⁸ metrycznymi

x=sint —icost, y=cost + tsinf.

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (7.2.1) oraz wartości dy/dx i dxjdt w zadaniu 7.1 mamy

d

-1

dx

§ 7.2. Pochodna rzędu drugiego    129

Jadanie 7.8. Ruch pocisku jest określony równaniami parametrycznymi x = 30000 (1 -    °'⁰²'),    y=45000 (1 - e " °-⁰²') - 5001,

•_e i oznacza czas w sekundach, a x i y są to współrzędne pocisku w płaszczyźnie pio-wyrażone ^w metrach. Wyznaczyć prędkość oraz przyśpieszenie w chwili t=0

>50.

Rozwiązanie. Obliczamy składowe prędkości

dx „ _nn,,    dy    _nn„

o* = — = 600e^-0,02, u = — = 900e~^o>O2'-500 dt    ^y dt

_n składowe przyśpieszenia

d²x dt²

Mając te składowe, obliczamy prędkość o i przyśpieszenie a według wzorów o=Vo²+o², a = \Jal+a²y.

W momencie /=0 mamy (rys. 7.1 i rys. 7.2) u_x=600, a_x=-12,

o=279, a=796.

'^nie 7.9. Ruch punktu na płaszczyźnie określony jest równaniami parametrycznymi x=5sin5l², y = 5cos5i²,

oznacza czas. Znaleźć równanie toru, położenie początkowe punktu, prędkość o śpieszenie a w chwili t.