069 3

Przekształcenie Łupiące 'a 69

(8.33) Ą₀ =

(8.34)

^Ti,o

(s + 1)

ds

m

M{s)

(s + 2f

s + 3

j (* + 2)²

Us)

M(s)

d	f^5 + 3l	-2
.,-2 ^ds	U+i J	,=-2 (^i> +i)^2

—2

(8.35) A, -

{s + 2f

Lis) Mis)

s+3

5 + 1 = -l

Końcowy wynik obliczeń jest następujący:

(8.36)    f(t) = 2e^-' - 2<T²' -te ^2r,    /> O

Omówimy teraz przypadek, gdy wielomian M(s) ma także pierwiastki zespolone. Osobliwość tego przypadku polega na występowaniu w oryginale funkcji sinus i kosinus.

(8.37)

Przykład 8.5. Rozpatrzymy transformatę: 5+10

F(5) =

5³ + 2s~ + 55

Wielomian występujący w mianowniku ma następujące pierwiastki: s₍ — 0, $₂ = -\-2j, s_y=-\ + 2j (zauważmy, że pierwiastki zespolone wielomianu o współczynnikach rzeczywistych muszą być parami sprzężone).

Pierwszy sposób uzyskania oryginału polega na zastosowaniu rozkładu na ułamki proste, identycznie jak w przypadku jednokrotnych pierwiastków rzeczywistych:

(8.38)

.    5 + 10    ABC

h (s) =-= —+-+-

5(5 - S₂ )(5 - 5,)    5    5 - 5₂    5 - 5j

Wykonując dodawanie po prawej stronie, uzyskujemy:

5 + 10    _ (A + B + C)s~ — [(5-, + s₂)A + s-fB + 5,c]i + 575^/!

(8.39)

5(5-5,)(5-5₃)

5(5-5₂)(5-5₃)

Równość ta będzie spełniona dla wszystkich s, jeśli