071 2

Przekształcenie Laplace a 71

(8.45)

F(s) =

5 + 10

5 + 1

5 + -

5[(5 + 1)² + 2²]    5    (5 + l)² + 2²    (5 + l)² + 2

-C

Oryginał tej transformaty jest następujący:

(8.46)    /(/) = A + Be~' cos 2t + Ce ' sin 2t,    t> 0

W celu wyznaczenia stałych A, R i C wykonamy dodawanie, prawej strony równości (8.45):

(8.47.)

5 + 10    (A + B)s² + (2 A + B + 2C> + 5.4

?[(5 + i)² +2²

(s + l)² + 2^:

Stąd dostajemy układ równań: ' A + B

= 0

(8.48)    <2A + B + 2C =    1

54    = 10

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy: A = 2, B = - 2, C =

Wyznaczanie macierzy tranzycji stanów

Wprowadźmy oznaczenia: f(t) = e^Ar , F(s) - transformata Laplace‘a funkcji f{t) . Na podstawie zależności:

(8.49)    —e^A,=Ae^At di

wykorzystując właściwości przekszlalcenia Laplace+i, otrzymujemy:

(8.50)    sf(s)-m = AF(s)

gdzie: /(O) = T . Zatem

(8.51)    F(5) = (5l - A T¹

Zatem macierz tranzycji stanów e^Ar można wyznaczyć jako oryginał transformaty (5I - A ) ¹ •