148
3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA
§ 2. WYZN
Stosując wzór (1.10) na różniczkowanie transformaty, otrzymujemy ze wzoru (4)
2!
Lt-n = --3.
3'
l^ = 7-
Uwaga. Wzór (7) pozostaje prawdziwy także dla n = 0.
Zadanie 2.8. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji f(f) = e~2'cost.
Rozwiązanie. Wiadomo, że transformata funkcji cost (por. zad. 2.6) określona jest wzorem
s
L [cos f] =
s2 + T
Stosując do równości (1) wzór (1.14) dla p0 = —2, czyli mnożąc cos/ przez e-2< i zastępując ^ po prawej stronie równości (1) przez s—p0 = 5+2, otrzymujemy szukaną transformatę
r — 2r i S + 2 S + 2
(2) L [e 2 cos /] =
(s+2)2 +1 s2 + 4s + 5'
Zadanie 2.9. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji /(/) = isinbt. Rozwiązanie. Wiadomo, że
L [sin fct] =
s + b
Stosując do równości (1) wzór (1.10) na różniczkowanie transformaty, otrzymujemy
Stosując do równości (3) wzói formatę
t
Zadanie 2.11. Wyznaczyć po zamknięciu obwodu w chv stępujący przebieg:
2(0
22(0
f=0
I 0-
Rys. 3.3
Rozwiązanie. Impedanc że kondensator był rozładow
(s2 + b2)2 ’
Na mocy wzoru (1.4) możemy lewą stronę równości (2) napisać w postaci:
2 sb
Stąd natychmiast
-L [/ sin bt] = — L[fsinbf] =
(sz + b2)2' 2 sb
(s2 + f>2)2'
Zadanie 2.10. Znaleźć transformatę Laplace’a funkcji f(t) = Rozwiązanie. Wiadomo, że
eb,-ea‘
Transformata napięcia (1) w
Stosując do rozważanego ob transformatę I(ś) natężenia j
Zadanie 2.12. Wyznaczyć
1
1
s—a