str174 (3)

174 3. PRZEKSZTAŁCENIE ŁAPLACE'A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE I

Stosując we wzorze (8) obustronnie przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, mamy

(9)

Z tablicy przekształceń Laplace’a odczytujemy

(10)

Podstawiając związki (10) do wzoru (9), otrzymujemy szukane rozwiązanie

y = -ie‘+}e^2,+{e-‘.

Zadanie 5.7. Znaleźć rozwiązanie równania

(1)    y"+4y' + 13y = 2e~' przy warunkach początkowych

(2)    y(0) = 0,    /(0)=-l.

Rozwiązanie. Stosujemy do równania (1) obustronnie przekształcenie Laplace’a. Wykorzystując wzór (1.6), otrzymujemy

(3)    L (y") + 4 L (y') + 13L (y) = 2 Na mocy wzoru (1.8) mamy

(4)    L(y") = S²L(y)-Sy(+0)-y'( + 0),

(5)    L(y') = SL(y)-y( + 0). Jednocześnie z tablicy przekształceń odczytujemy

1

(6)

Ł(0 =

s+r

Podstawiając wzory (4), (5) i (6) do równania (3) oraz wykorzystując warunki początkowe (2) otrzymujemy po przekształceniach i uporządkowaniu

(7)

a stąd

(8)

(S² + 4S +13) L (y) =

L (}’) = ■

S +1 -S + l

-1,

(S + l) [(S + 2)²+ 9] Rozkładając prawą stronę wzoru (8) na ułamki proste, mamy

1    S+2    6    1

(9)

1 1

L(y) = -

5 S+l 5 [(S + 2)² + 9]    5 [(S + 2)²+ 9]"

Stosując do równania (9) c stując jego liniowość, mamy

(10)

(S+l

Z tablicy przekształceń odczyi L

(U)

L

Podstawiając związki (11) do

y =

lub

Zadanie 5.8. Znaleźć rozw

(1)

przy warunkach początkowyc

(2)

Rozwiązanie. Stosujem> Wykorzystując następnie wzó

(3)    i Na mocy wzoru (1.8) mamy

(4)    L(y"

(5)

Oprócz tego z tablicy przeks;

(6)

Podstawiając wzory (4), (5) i kowe (2), otrzymujemy po p:

(7)