166 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 5 5. WYZNACZANIE
aż do rzędu n włącznie są oryginałami. Szukamy takiego rozwiązania y(l) równania (5.1), które spełnia następujące warunki początkowe:
(5.2) y(0) = b0, y'(0) = 6j, y"(0) = b2, ..., /,"1>(0
W celu rozwiązania postawionego zadania bierzemy w równaniu (5.1) obustronnie przekształcenie Laplace’a, stosując do lewej strony wzór (1.6). Otrzymujemy wtedy
(5.3) aoL(yw) + a1L(/'-1)) + fl2L(/”-2>)+...+an_1L(/) + anL(y) = L[/(0].
Na mocy wzoru (1.8) mamy kolejno
L (/">) = SnL (y)-Sn~1y (0) -ST" V (0) -... - y{n~1 >(0),
L (/*-1>) = Sn~1L 00 - S"~2y (0) - S"~3y'(0) -... - y(n~2 *(0),
(5.4) L(/n_2)) = SB_2L(y)-S"_3y(0)-S"_V(0)-...-y""3)(0),
L(y') = SL(y)-y( 0).
Uwzględniając warunki początkowe (5.2) w równaniach (5.4), otrzymujemy L (yW) = S"L (y) - S" -1 b0 - S" -■2 b, -... - bn _,,
L(y{n~l)) = S"~iL(y) — Sn~2b0 — Sn~ibl — ... — bH-2>
(5.5) L(y(H~2)) = Sn~2L(y)-Sn~3b0 — Sn~4bi — ... — bn-3,
Podstawiając równania (5.5) do wzoru (5.3), otrzymujemy po przekształceniach i uporząd kowaniach następujące równanie:
(5.6) (a0S', + a1S"-, + ... + aB)L(y)= ^_1(S) + d>(S),
gdzie jest wielomianem stopnia n— 1 zmiennej S postaci
(5.7) łk/i-t(S) = a0b0S" 1 +(a0bl + a1b0)S" 2 + (a0b2 + a1b1+a2b0)SH 3 +
+ ...+(a0b„-2+alb„-3 + ...+a„-2b0)S +
oraz
(5.8) tf(S) = L[/(0].
Z równania (5.6) wyliczamy natychmiast
(5.9)
L(y) =
W.-i (S)
- +
0(S).
Biorąc po obu stronach wzo korzystając ze wzoru (3.2):
(5.10) y — LT2 i ^ \a0S■ + a1S"
Jest to szukane rozwiąza Reasumując powyższe widzin się z następujących etapów:
1° Równanie różniczkowe sprowadzamy do równania 1 wiadomą tą jest Z.[y(f)] , cz> na wzorem (5.9).
2° W równaniu (5.9) bier mując rozwiązanie (5.10) ró wych (5.2).
3° Oryginały odpowiadając znajdujemy najczęściej bądź z nację użycia tablicy transfom
Warto podkreślić, że prz kształcenia Laplace’a jest obo też niejednorodne. Na tym włi strony; z drugiej strony na tyr przy danych warunkach poci równania (5.1) przy warunkai ogólnej równania jednorodne wreszcie takiego doboru stałyc Przy równaniach różniczkowy rachunków.
Zupełnie analogicznie mo: o współczynnikach stałych pi do takiego układu metodę pr równań liniowych, którego i wiązań. Zatem także w przy] wych metoda przekształcenia Ta ostatnia już w przypadku prowadzi do skomplikowanyi
Zadania przykładowe
Zadanie 5.1. Rozwiązać r
(1)
przy warunku początkowym
(2)