53273 str166 (3)

53273 str166 (3)



166    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 5 5. WYZNACZANIE

aż do rzędu n włącznie są oryginałami. Szukamy takiego rozwiązania y(l) równania (5.1), które spełnia następujące warunki początkowe:

(5.2)    y(0) = b0,    y'(0) = 6j,    y"(0) = b2,    ...,    /,"1>(0

W celu rozwiązania postawionego zadania bierzemy w równaniu (5.1) obustronnie przekształcenie Laplace’a, stosując do lewej strony wzór (1.6). Otrzymujemy wtedy

(5.3)    aoL(yw) + a1L(/'-1)) + fl2L(/”-2>)+...+an_1L(/) + anL(y) = L[/(0].

Na mocy wzoru (1.8) mamy kolejno

L (/">) = SnL (y)-Sn~1y (0) -ST" V (0) -... - y{n~1 >(0),

L (/*-1>) = Sn~1L 00 - S"~2y (0) - S"~3y'(0) -... - y(n~2 *(0),

(5.4)    L(/n_2)) = SB_2L(y)-S"_3y(0)-S"_V(0)-...-y""3)(0),


L(y') = SL(y)-y( 0).

Uwzględniając warunki początkowe (5.2) w równaniach (5.4), otrzymujemy L (yW) = S"L (y) - S" -1 b0 - S" -■2 b, -... - bn _,,

L(y{n~l)) = S"~iL(y) — Sn~2b0 — Sn~ibl — ... — bH-2>

(5.5)    L(y(H~2)) = Sn~2L(y)-Sn~3b0 — Sn~4bi — ... — bn-3,


L (y') = SL (y)b0.

Podstawiając równania (5.5) do wzoru (5.3), otrzymujemy po przekształceniach i uporząd kowaniach następujące równanie:

(5.6)    (a0S', + a1S"-, + ... + aB)L(y)= ^_1(S) + d>(S),

gdzie    jest wielomianem stopnia n— 1 zmiennej S postaci

(5.7)    łk/i-t(S) = a0b0S" 1 +(a0bl + a1b0)S" 2 + (a0b2 + a1b1+a2b0)SH 3 +

+ ...+(a0b„-2+alb„-3 + ...+a„-2b0)S +

+(aoK-i+aibH-2+ —+a*-2bi+an-tb0y

oraz

(5.8)    tf(S) = L[/(0].

Z równania (5.6) wyliczamy natychmiast


(5.9)


L(y) =


W.-i (S)


- +


0(S).


Biorąc po obu stronach wzo korzystając ze wzoru (3.2):

(5.10) y — LT2 i ^ \a0S■ + a1S"

Jest to szukane rozwiąza Reasumując powyższe widzin się z następujących etapów:

1° Równanie różniczkowe sprowadzamy do równania 1 wiadomą tą jest Z.[y(f)] , cz> na wzorem (5.9).

2° W równaniu (5.9) bier mując rozwiązanie (5.10) ró wych (5.2).

3° Oryginały odpowiadając znajdujemy najczęściej bądź z nację użycia tablicy transfom

Warto podkreślić, że prz kształcenia Laplace’a jest obo też niejednorodne. Na tym włi strony; z drugiej strony na tyr przy danych warunkach poci równania (5.1) przy warunkai ogólnej równania jednorodne wreszcie takiego doboru stałyc Przy równaniach różniczkowy rachunków.

Zupełnie analogicznie mo: o współczynnikach stałych pi do takiego układu metodę pr równań liniowych, którego i wiązań. Zatem także w przy] wych metoda przekształcenia Ta ostatnia już w przypadku prowadzi do skomplikowanyi

Zadania przykładowe

Zadanie 5.1. Rozwiązać r

(1)

przy warunku początkowym

(2)



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
str170 (3) 170 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE 1 170 3.
str174 (3) 174 3. PRZEKSZTAŁCENIE ŁAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE I Stosuj
str176 (3) 176 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANE a stąd (8) L(y
60476 str192 (3) 192 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. WYZNACZANIE Ro
18128 str188 (3) 188 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. WYZNACZANIE Ct
52803 str176 (3) 176 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANE a stąd (
str174 (3) 174 3. PRZEKSZTAŁCENIE ŁAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE I Stosuj
str186 (3) 1 86    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. W
str190 (4) 190 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 8 6. WYZNACZANIE Ci Stosu
87309 str170 (3) 170 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE 1
str196 (3) 196. 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA S 7. RÓWNANIA CAŁKOW 196

więcej podobnych podstron