53273 str166 (3)

166    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 5 5. WYZNACZANIE

aż do rzędu n włącznie są oryginałami. Szukamy takiego rozwiązania y(l) równania (5.1), które spełnia następujące warunki początkowe:

(5.2)    y(0) = b₀,    y'(0) = 6j,    y"(0) = b₂,    ...,    /^,"¹>(0

W celu rozwiązania postawionego zadania bierzemy w równaniu (5.1) obustronnie przekształcenie Laplace’a, stosując do lewej strony wzór (1.6). Otrzymujemy wtedy

(5.3)    _aoL(y^w) + a₁L(/'-¹⁾) + _fl2L(/”-²>)+...+_an_₁L(/) + a_nL(y) = L[/(0].

Na mocy wzoru (1.8) mamy kolejno

L (/">) = SⁿL (y)-Sⁿ~¹y (0) -ST" V (0) -... - y^{n~¹ >(0),

L (/*-¹>) = Sⁿ~¹L 00 - S"~²y (0) - S"~³y'(0) -... - y⁽ⁿ~² *(0),

(5.4)    L(/^n_2)) = S^B_2L(y)-S"^_3y(0)-S"^_V(0)-...-y""³⁾(0),

L(y') = SL(y)-y( 0).

Uwzględniając warunki początkowe (5.2) w równaniach (5.4), otrzymujemy L (yW) = S"L (y) - S" -¹ b₀ - S" -■² b, -... - b_n _,,

L(y^{n~^l)) = S"~ⁱL(y) — Sⁿ~²b₀ — Sⁿ~ⁱb_l — ... — b_H-₂>

(5.5)    L(y^(H~²⁾) = Sⁿ~²L(y)-Sⁿ~³b₀ — Sⁿ~⁴b_i — ... — b_n-₃,

L (y') = SL (y)—b₀.

Podstawiając równania (5.5) do wzoru (5.3), otrzymujemy po przekształceniach i uporząd kowaniach następujące równanie:

(5.6)    (a₀S'^, + a₁S"-^, + ... + a_B)L(y)= ^_₁(S) + d>(S),

gdzie    jest wielomianem stopnia n— 1 zmiennej S postaci

(5.7)    łk/i-t(S) = a₀b₀S" ¹ +(a₀b_l + a₁b₀)S" ² + (a₀b₂ + a₁b₁+a2b₀)S^{H 3} +

+ ...+(a₀b„-₂+a_lb„-₃ + ...+a„-₂b₀)S +

+(aoK-i+aib_H-₂+ —+a*-₂bi+a_n-_tb₀y

oraz

(5.8)    tf(S) = L[/(0].

Z równania (5.6) wyliczamy natychmiast

(5.9)

L(y) =

W.-i (S)

- +

0(S).

Biorąc po obu stronach wzo korzystając ze wzoru (3.2):

(5.10) y — LT² i ^ \a₀S■ + a₁S"

Jest to szukane rozwiąza Reasumując powyższe widzin się z następujących etapów:

1° Równanie różniczkowe sprowadzamy do równania 1 wiadomą tą jest Z.[y(f)] , cz> na wzorem (5.9).

2° W równaniu (5.9) bier mując rozwiązanie (5.10) ró wych (5.2).

3° Oryginały odpowiadając znajdujemy najczęściej bądź z nację użycia tablicy transfom

Warto podkreślić, że prz kształcenia Laplace’a jest obo też niejednorodne. Na tym włi strony; z drugiej strony na tyr przy danych warunkach poci równania (5.1) przy warunkai ogólnej równania jednorodne wreszcie takiego doboru stałyc Przy równaniach różniczkowy rachunków.

Zupełnie analogicznie mo: o współczynnikach stałych pi do takiego układu metodę pr równań liniowych, którego i wiązań. Zatem także w przy] wych metoda przekształcenia Ta ostatnia już w przypadku prowadzi do skomplikowanyi

Zadania przykładowe

Zadanie 5.1. Rozwiązać r

(1)

przy warunku początkowym

(2)