str186 (3)

1 86    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. WYZNACZANIE CA

1 86    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE'A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. WYZNACZANIE CA

ii, _uV97 212

•    97

c)    y = — -|+ cos2f — 3sin2f, z = -|t + 3cos2t+ V³ sin2t,

d)    y = — i + e'—y^e⁴¹—-pyCosf+-pj-sin/,

Z = —y P* 4* yy I?^4f "ł“ *pf COS t—-yy sin t,

e) y = — \ e'+i e²¹—j e*' cos    t + -    e*‘ sin    t,

_z= -*e'-l_c²‘+£_eł'cos ^-t--ZL_e}'_sin:Z23

^{T 8    8}    2    8^23    2

4. a) x = 2 — e', y = — 2 + 4e‘ — te', z = — 2 + 5e' + te', 13

b)    x = — Ile +20e² cosh^^^t—= e ² ’ — sinh^-^-f,

2    V97    2

,, 2r ,, _UV97 144 ii, . J97 y= — lle²+16e² cosh-—i—i=e² sinh-—t,

2    ^97    2

₂, „, ii, , V97    216 ii, J97

z = 17e²+24e² cosh-—t r=e² smh-—t,

2    V97    2

c)    X = yCOSh0_N/2) + yCOS(, y = Z = —yC0Sh(J_N/2) + yC0Si.

§ 6. Wyznaczanie całki ogólnej równania różniczkowego liniowego rzędu n oraz układu równań różniczkowych

Przy szukaniu całki ogólnej równania różniczkowego (5.1) można oczywiście przyjąć, że warunki początkowe (5.2) są dowolne. Wówczas za współczynniki wielomianu PF„_ ,(Sj stopnia n— 1 występującego w równaniu (5.6), jak to wynika ze wzoru (5.7), można przyjąć stałe dowolne C₀, C_Ł, ..., C„_,. Wielomian ten ma więc postać

(6.1)    W_n_₁(S) = C_B_₁Sⁿ-¹ + C_n_₂S"-² + ... + C,S+C₀.

Okoliczność ta pozwala znacznie skrócić rachunki przy wyznaczeniu całki ogólnej równania różniczkowego (5.1). W rozważanym bowiem przypadku transformata Laplace’a L[y(,t)\ szukanego rozwiązania y(t) spełnia równanie

(6.2)    H_n(S) L (y) = W_n_ _t(S) + <t> (S), gdzie ^„^(S¹) określone jest wzorem (6.1) oraz gdzie

(6.3)    H_n(S) = a₀S”+a_lS-¹ + ...+a_n,    <ł>(S) = L[/(i)] .

Wielomian i/„(S) określony pierwszym ze wzorów (6.3) otrzymujemy z lewej strony równania (5.1), zastępując w niej Ar-tą pochodną y^(k) przez potęgę S^k zmiennej S, dla k = 0, 1,2,n, przy konwencji y^<0) = y = S°. W konsekwencji stopień wielomianu H„{S) jest zawsze równy rzędowi równania (5.1).

Zadania przykładowe

Zadanie 6.1.^Znaleźć rozw

(1)    .V

Rozwiązanie. Niech L{y W rozważanym przypadku tr

(2)    1 gdzie

(3)

(4)    ^3

(5)    f(S) = L[e-‘]_a

oraz gdzie C₀, C,, C₂ i C₃ < w równaniu (2), otrzymujemy

C₃S³ + C

(6)    ^ Mianowniki występujące w prj

(7)    L(y) =

Następnie oba ułamki po pra¹ odpowiednio

C₃S³ + C₂S² + <⁸>    Ś(S+1

gdzie współczynniki A,, A₂,

(9)    -^l—_Ą =

S(S +1)⁴

Istotnym w rozkładzie (9) bowiem na pozostałe współcz; stałych dowolnych A_t, A₂, a to pod uwagę i uwzględniając] w postaci

(10)    L(y) = ^

gdzie A,, A₂, A₃, A₄ oznacz; czenia wartości B_s obie stron

(11)    l=R_t(S+l)⁴+