87309 str170 (3)

170 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE 1

170 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE 1

= cos At,

(6)

Rozwiązanie. Stosujemy przekształcenie Laplace’a do obu stron równania (1). Mamy wtedy

(2)    L[/'+A²y]=0.

Na mocy wzoru (1.6) mamy

(3)    L(y") + A¹L(y) = 0.

Zgodnie z wzorem (1.8) mamy

(4)    L (/') = S²L (y)-Sy(+0)-y'(+0).

Podstawiając wzór (4) do równania (3) i wykorzystując warunki początkowe (1'), otrzymujemy po przekształceniach

(S¹ + ź²)L(y) = _aS + 6, L(y) = |^,

^{L(y) = a}s^r+x²+¥+T¹-

Stosując w ostatniej równości odwrotne przekształcenie Laplace’a oraz wzór (3.2), mamy

⁽⁵⁾    y = 0L 1(ś^I+I⁵)^+W' ‘(ś^+I⁵)-

Z tablic odczytujemy (por. 3 i 4 wiersz):

Wt*-*)-,

\S² + A²J

L~^l ( -5——,| = 4- sin At. \S²+A²J A

Podstawiając związki (6) do wzoru (5), otrzymujemy szukane rozwiązanie

b

y — acosźH—sinźf.

A

Zadanie 5.4. Znaleźć rozwiązanie równania

(1)    y"-y'-6y = 2, spełniające warunki początkowe

(2)    y(0) = l, /(0) = o.

Rozwiązanie. Stosujemy do równania (1) obustronnie przekształcenie Laplace’a. Mamy wtedy

Zgodnie z wzorem (1.6) mam (3')    l

W myśl wzoru (1.8) otrzymuj

(4)    Hy"\

(5)

Z tablicy przekształceń odczy

(5')    i

Uwzględniając związki (4), (5) mujemy po przekształceniach

(6)    ( a stąd

(7)

Rozkładając prawą stronę na

(8)    L(y)

Stosując we wzorze (8) obust Laplace’a, mamy

(9)    .V=-jL Z tablic odczytujemy (por. w

<‘°>    ^Ł'^,(ł)-¹-

Podstawiając związki (10) do

Zadanie 5.5. Znaleźć rozw

(1)

spełniające warunki początko

(2)

J»(<

/(O) = 2, y

1

   L[y”—y'—by] = L[2].