52803 str176 (3)

52803 str176 (3)



176 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA

§ 5. WYZNACZANE


a stąd

(8)


L(y) =


S +1


S(S-l)2'

Rozkładając następnie prawą stronę wzoru (8) na ułamki proste, mamy


(9)


S S-1 (S-l)2


Stosując we wzorze (9) obustronnie przekształcenie odwrotne Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, otrzymujemy


(10)    ^-L“(ł)-L",(^l)+2L",((^i?)'

Z tablicy przekształceń (wiersz 1, 2, 8) odczytujemy

(11)


Uwzględniając związki (11) w równaniu (10), otrzymujemy szukane rozwiązanie

y = l-e'+2te' = l + e'(2t-l).

Zadanie 5.9. Znaleźć rozwiązanie równania

(1)    y"+2y\t)+2y(t) = f(t) przy warunkach początkowych

(2)    y (0) = y'(0) = 0.


Rozwiązanie. Stosujemy do równania (1) obustronnie przekształcenie Laplace’a. Wykorzystując następnie wzór (1.6), mamy


(3)    L(y")+2L(y')+2L(y) = L(f). Na mocy wzorów (1.8) wyliczamy

(4)    L O") = S2L (y) - Sy (+0) - /(+0),

(5)    L(y') = SL(y)-y(+0). Przyjmijmy

(6)    L (/) = <P (S).


Podstawiając wzory (4), (5) i (6) do równania (3) oraz wykorzystując warunki początkowe (2), otrzymujemy po przekształceniach i uporządkowaniu


(7)    ,

a stąd


(S2 + 2S + 2) L (y) = 4>(S),


Stosując do wzoru (8) o rela (3.9), mamy


(9;

ale

(10)


ii


i


(S+l

Uwzględniając związki (10) ■


y = f(


Jest to szukane rozwiązanie i Zadanie 5.10. Rozwiązać


(1)


przy warunkach początkowyi

(2)    y<

Rozwiązanie. Stosujem; korzystując wzór (1.6) otrzyi

2 L(y")-L 2 L(y")+L Stosując wzór (1.8), mamy

W

(4)    L(z' L(y' L(z'

Podstawiając wzory (4) do ukł; po przekształceniach

(5)    (2-(2S2 +

Jest to układ równań liniowy znajdujemy


(3)


(8)


L(y) =


1


(S+l)2 + l


*(S)


\ ■


(6)


L(y)

Hz)


12 — Wybrane działy matematyki...



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
str176 (3) 176 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANE a stąd (8) L(y
str170 (3) 170 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE 1 170 3.
str174 (3) 174 3. PRZEKSZTAŁCENIE ŁAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE I Stosuj
60476 str192 (3) 192 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. WYZNACZANIE Ro
18128 str188 (3) 188 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. WYZNACZANIE Ct
53273 str166 (3) 166    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 5
str174 (3) 174 3. PRZEKSZTAŁCENIE ŁAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE I Stosuj
str186 (3) 1 86    3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. W
str190 (4) 190 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 8 6. WYZNACZANIE Ci Stosu
87309 str170 (3) 170 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 5. WYZNACZANIE 1
str196 (3) 196. 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA S 7. RÓWNANIA CAŁKOW 196

więcej podobnych podstron