176 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA
§ 5. WYZNACZANE
a stąd
(8)
L(y) =
S +1
S(S-l)2'
Rozkładając następnie prawą stronę wzoru (8) na ułamki proste, mamy
(9)
S S-1 (S-l)2
Stosując we wzorze (9) obustronnie przekształcenie odwrotne Laplace’a i wykorzystując jego liniowość, otrzymujemy
Uwzględniając związki (11) w równaniu (10), otrzymujemy szukane rozwiązanie
y = l-e'+2te' = l + e'(2t-l).
Zadanie 5.9. Znaleźć rozwiązanie równania
(1) y"+2y\t)+2y(t) = f(t) przy warunkach początkowych
(2) y (0) = y'(0) = 0.
Rozwiązanie. Stosujemy do równania (1) obustronnie przekształcenie Laplace’a. Wykorzystując następnie wzór (1.6), mamy
(3) L(y")+2L(y')+2L(y) = L(f). Na mocy wzorów (1.8) wyliczamy
(4) L O") = S2L (y) - Sy (+0) - /(+0),
(5) L(y') = SL(y)-y(+0). Przyjmijmy
(6) L (/) = <P (S).
Podstawiając wzory (4), (5) i (6) do równania (3) oraz wykorzystując warunki początkowe (2), otrzymujemy po przekształceniach i uporządkowaniu
(7) ,
a stąd
(S2 + 2S + 2) L (y) = 4>(S),
Stosując do wzoru (8) o rela (3.9), mamy
(9;
ale
(10)
i
(S+l
Uwzględniając związki (10) ■
y = f(
Jest to szukane rozwiązanie i Zadanie 5.10. Rozwiązać
(1)
przy warunkach początkowyi
(2) y<
Rozwiązanie. Stosujem; korzystując wzór (1.6) otrzyi
2 L(y")-L 2 L(y")+L Stosując wzór (1.8), mamy
W
(4) L(z' L(y' L(z'
Podstawiając wzory (4) do ukł; po przekształceniach
(5) (“2-(2S2 +
Jest to układ równań liniowy znajdujemy
(3)
(8)
L(y) =
1
(S+l)2 + l
*(S)
\ ■
(6)
12 — Wybrane działy matematyki...