str190 (4)

190 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 8 6. WYZNACZANIE Ci

Stosując obustronnie do równania (15) odwrotne przekształcenie Laplace’a i korzystając z jego liniowości, otrzymujemy

(.6) , -

^+A‘^L~¹ (to)⁺’* ^l" (s³^) ⁺ *(to) ■

+

Z tablicy przekształceń Laplace’a (wiersz 2, 8, 3, 4) odczytujemy

(17)

^L"(^)-^c'' ^£'’(<TO?) ^{= ,C}'' ^l~'(to)“^cos'-^Ł"(s³Vi)-^8ta'’    ^L‘^,(ś³T4)“^isin2'-

Podstawiając wzory (17) do równania (16), otrzymujemy szukane rozwiązanie ogólne równania (1)

y — i4₁e' + i4₂fe' + i4₃cos/+/l₄sint4- ■^3-cos2/+ _?ysin2t.

(1)

Zadanie 6.3. Znaleźć rozwiązanie ogólne układu

/ = y~2z, z' — y — z + t.

Rozwiązanie. Aby znaleźć rozwiązanie ogólne danego układu, przyjmujemy na

stępujące warunki początkowe:

(2)    y (0) = C,, z (0) = C₂, gdzie C, i C₂ oznaczają stałe dowolne.

Stosujemy następnie do obu równań układu (1) przekształcenia Laplace’a, wykorzystując wzór (1.6). Mamy wtedy

₍₃₎    L(/)-L(y)+2L(z) = 0,

L(z') — L(y) + L(z) = L(t).

Stosując wzór (1.8), mamy

₍₄₎    L(y') = SL(y)-y(+0),

L(z') =SL(z)-z( + 0).

Z tablicy przekształceń odczytujemy

(5)

1

MO—2-

Uwzględniając w układzie (4) warunki początkowe (2), mamy

L(y’) «= SL(y)—C,,

L(z') = SL(z)-C₂.

(6)

Podstawiając wzory (5) i (6)

(S-

(7)

-1

Rozwiązując układ (7) wzglęc

(8)

L(2) = J,

Stosując do każdego rów Laplace’a i wykorzystując jeg

y = C_tU

(9)

Iró)

+«v

z = C₂L-¹(—|+(C.-Wyliczamy następnie, stosując

⁽¹⁰⁾ "'‘(scTO))-¹" ^L ‘(to

(U)

+ 1

Z tablicy przekształceń Lapla

(12)    U

"(s-³

Podstawiając wzory (10), i y = Cj co z = C₂ co

Wzory (13) określają całkę o Zadanie 6.4. Znaleźć rozw

(13)

(1)