18128 str188 (3)

188 3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA § 6. WYZNACZANIE Ct

Przyjmując w równości (11) S = —I, otrzymujemy (12)    B_s=-1.

Uwzględniając równości (12) we wzorze (10), mamy

(13)

A1

L(y) = -~ +

+ ;

A_d

1

s s+i (s+ir (s+ir (s+i)

Stosując obustronnie do równości (13) odwrotne przekształcenie Laplace’a i korzystając z jego liniowości, mamy

(.4)

+ A₄L~¹ (_!_) — LT¹( -i-j) •

\(S+l)³J    \(S+i)⁴)

Z tablicy przekształceń Laplace’a (wiersz 1, 2, 8) odczytujemy

(15)

(16)

^L“(ł)-‘'    ‘■'{(di?)’""-

ŁT¹(—!—j) = łt²e-, L~ⁱ( —-—= ±t³e~'.

V(s+i)7 *    \(s+1)⁴/ ⁶

Podstawiając związki (15) i (16) do wzoru (14), otrzymujemy rozwiązanie ogólne danego równania

y = A^A- A₂e '+A₃te '-\-^A_dt²e '—^t³e Zadanie 6.2. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego

(1)    y^<4) — 2/"+2y" — 2y' + y = cos2t.

Rozwiązanie. Niech L(y) oznacza transformatę Laplace’a szukanego rozwiązania. W rozważanym przypadku transformata L{y) spełnia równanie (por. (6.2) dla n = 4):

(2)    H_Ą(S)L(y)=W₃(S) + <P(S), gdzie

(3)    ź/₄(S) = S⁴—2S³ + 2S² —2S + 1,

(4)    łP₃(S) = C₃S³ + C₂S² + C₁S + C₀,

(5)

(P(S) = L[cos2<] =

S²+4

(por. wiersz 3 tab. transformacji, str. 199)

oraz gdzie C₀, C_lf C₂, C₃ oznaczają stałe dowolne. Uwzględniając wzory (3), (4) i (5) w równaniu (2), otrzymujemy po przekształceniu

1    S

C₃S³ + C₂S² + CjS+C o (6)    L(y) =    .°+

S⁴ —2S³ + 2S² —2S+1 S⁴ —2S³ + 2S²—2S + 1 S²+4'

Mianowniki, występujące w wtedv

C₃S³ +

(7)

L(y) =

(S

Następnie oba ułamki po pra\ wtedy odpowiednio

C₃S³ + C₂S²

(8)

(S-l)²

gdzie współczynniki A_lt A₂, S

(9)

(S-l)²(S² + l)(S

Istotnym w rozkładzie (9) Wartości bowiem pozostałych wiednich stałych dowolnych A Biorąc to pod uwagę i uwzgl< napisana w postaci

(10)

L(y) =

gdzie A_t, A₂, A₃, A₄ oznacza wyznaczenia współczynników wtedy

(11)    S = B,(S-1)(S² + 1)(1

+(i

Przyjmując w równości (k 2 i

(12)    2i =

li

Porównując we wzorach (12)

(13)

Rozwiązując układ (13), otrz (14)

Podstawiając związki (14) dc

(15)

L(y) =