50034 str172 (3)

3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 172 § 5. WYZNACZANIE 1

3. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PEWNE ZASTOSOWANIA 172 § 5. WYZNACZANIE 1

L(y) =

(8)

Rozwiązanie. Stosujemy do równania (1) obustronnie przekształcenie Laplace’a. Mamy wtedy

L[y⁽⁸⁾+2y<⁶⁾—2/'—y] = 0.

Na mocy wzoru (1.6) mamy

(3)    L(y^w)+2L (y<⁶⁾)—2L(y")—L(y) = 0.

Zgodnie z wzorem (1.8) mamy

(4)    L(y⁽⁸⁾) = S⁸L(y)-S⁷y( + 0)-S⁶y'( + 0)-S⁵y"( + 0)-S⁴y^(3>( + 0)-

- S³y< ⁴⁾( + 0) - S²y⁽⁵⁾( + 0) - Sy<⁶⁾(+0) - y^a>(+0),

(5)    L(y⁽⁶⁾) = S⁶L(y) — S⁵y( + 0) — S*y'( + 0) — S³y"( + 0) — S²y⁽³⁾( + 0) —

-Sy^<4)(+0)-.v<^5,( + 0),

(6)    L(y") = S²L (y) - Sy ( + 0) - y'( + 0).

Podstawiając wzory (4), (5) i (6) do równania (3) oraz uwzględniając warunki początkowe (2) otrzymujemy po przekształceniach

(S⁸ + 2S⁶ — 2S² — 1) L (y) = 2 S⁶ + 6 S⁴ + 3S² + 5,

a stąd

2S⁶ + 6S⁴ + 3S² + 5 _ 2S⁶ + 6S⁴ + 3S² + 5

^{(7)    L(j,)} “ S⁸ + 2S⁶—2S² — 1 ⁼ (S-1)(S+1)(S² + 1)³’

Rozkładając prawą stronę (7) na ułamki proste, otrzymujemy

1    1    3

S-l S + l (S² + l)^3-Stosując obustronnie przekształcenie odwrotne względem przekształcenia Laplace’a i uwzględniając wzór (3.2), mamy

+ i )V

Z tablicy przekształceń Laplace’a odczytujemy

(9)

Ostatecznie

do)    ^L_1y

Podstawiając wzory (9) i (10)

y =

Zadanie 5.6. Rozwiązać rc

(1)

przy warunkach początkowyc (2)

Rozwiązanie. Stosujemy Otrzymujemy wtedy

i

Korzystając ze wzoru (1.6) n

(3)    L[

Z tablicy przekształceń Lapla

(3')    ^L(

Na mocy wzoru (1.8) wylicz.

(4)    L(y"

(5)

Podstawiając wzory (4), (5) i kowe (2) otrzymujemy po pr

(

Wyliczamy następnie, opierając się na wzorze (3.9) i na odpowiednich wzorach z tablicy przekształceń (wiersz 4 i 12):

UiS² + 1)³/    W.s¹--

1

+ iy (s²+i).

= L ¹ ( —r- ] *L ¹ f —t-) = [U sin <] i

V(S² + 1)V \S²+lJ ¹¹ J

t

= J sin (/ — r) [rsint]ć/T = i [(■§■— ^t²)sin t—\t cos t].

* sin t —

a stąd

(7)

Rozkładając prawą stronę rć

(8)    i-60 =