071

140 VIII. Algebra

ę>( —2)= -8+32-8-32^0, ę>( —4)= -64 + 128-16 + 32^0, ę>( —8) = —8³ + 8^-8² —4-8+32 = 0.

Wobec ostatniej równości x = — 8 jest pierwiastkiem równania (3), a tym samym i nania (2). Następnie lewą stronę równania (3) dzielimy przez x+8 i otrzymujemy w j]_Q razie je²+4. Równanie x² + 4 = 0 ma pierwiastki zespolone x=—2i, x=2i. Zanotujmy twierdzenie:

(8.2.6) Każdy wielomian ma tyle pierwiastków, ile wynosi jego stopień, przy czym kaid pierwiastek liczony jest tyle razy, ile wynosi jego krotność.

Na podstawie tego twierdzenia wnioskujemy, że x= 1, x = — 8, x= — 2i, x=2i są w$zy$_t. kimi pierwiastkami równania (2). Ostatecznie więc pierwiastkami równania (I) są

y=i, y=-4,    y=-i, y=i-

Zadania

Rozwiązać równania (zad. 8.45- 8.57): 8.45. x³ —6x+4=0.

8.47. x³ + 18x —19 = 0.

8.49. x³ —3x —18 = 0.

8.51.    x⁵ —3x⁴ —2x³ —6x² +x —3=0.

8.52.    x⁴-10x² —20x—16 = 0.

8.54. x³-5x²—2x + 24 = 0.

8.56. x³ —6x —4 = 0.

8.46. x³ —6x —9 = 0.

8.48. x³ — 12x-16 = 0.

8.50. x³ —5x² +3x +9 = 0.

8.53. x⁶+9x⁴-16x²-144 = 0.

8.55. 4x³-4x²+x—1=0.

8.57. 6x⁴ —83x³ +272x^z +76x —96=0-

§ 8.3. RÓWNANIE STOPNIA TRZECIEGO

Ogólna postać równania stopnia trzeciego jest następująca:

(8.3.1)    b₃y³ + b₂y² + bi y+b_o=0, gdzie b₃ź0.

Jeżeli współczynniki b₃, b₂, 6,, b₀ są liczbami wymiernymi, to przede wszystk¹⁰¹ ^ damy metodą podaną w paragrafie poprzednim, czy równanie nie ma pierwiastko ^ miernych. Jeżeli tym sposobem nie znajdziemy żadnego pierwiastka, to dzielimy strony równania (8.3.1) przez b₃ i otrzymujemy równanie postaci

(8.3.2)

y³+a₂y²+a_ly+a_o = 0.

Następnie

(8.3.3)

dokonujemy podstawienia

y=x-\a₂

otrzymujemy równanie postaci

,1.3.4)    *    ⁺

2_a pomocą podstawienia (8.3.3) otrzymaliśmy równanie (8.3.4), w którym współ-^nnik przy *² jest równy zeru.

¹' Wyróżnikiem równania (8.3.4) nazywamy wyrażenie

(8.3-5)

zf = (|p)³+(k)²-

Wprowadźmy jeszcze dla wygody następujące oznaczenia:

(8.3-6)    U=-\q-_sJń oraz V=-\q + J~A.

Sposób znajdowania pierwiastków równania (8.3.1), które nie są liczbami wymiernymi, zależy od znaku wyróżnika A.

Przypadek 1: A>0. W tym przypadku równanie (8.3.4) ma jeden pierwiastek x, rzeczywisty, a dwa pozostałe pierwiastki x₂ i x₃ są zespolone sprzężone.

Oznaczmy (por. § 8.1):

(8.3.7)    u = Re yfu, v=Re Xfv.

Rozważmy teraz równanie

x²+x + l = 0.

Łatwo sprawdzić, że jeden pierwiastek tego równania jest kwadratem drugiego — i nawzajem. Wprowadźmy oznaczenia jego pierwiastków:

£ = |(-1-iV3),    _£²=i(-l + iV3)

(lub odwrotnie). Wtedy wzory na pierwiastki równania (8.3.4) są następujące.

^'^)    Xi=U+V, x₂=⁼Eu+e²v, x₃ = e²u+ev.

5$ to tzw. wzory Cardano.

to ^^rz^P^a<^^e^ 2: A <0. W tym przypadku w równaniu (8.3.4) musi być p<0 i równanie ^{ma trz}y pierwiastki rzeczywiste różne, które znajdujemy ze wzoru

(8.3.9)

gdzi_e

^a wyznacza się ze związku: (8-3.10)

x_k+i = 2\J — $pcosj(a+2kn) dla fc=0,l,2,

3?

cosoc=

2pV — i

wiste ^Z^^a|5ek 3: A = 0. W tym przypadku równanie (8.3.4) ma trzy pierwiastki rzeczy-’ ^{2 któr}ych dwa są równe. Pierwiastki te znajdujemy ze wzorów:

³/~r    ₀    .3/—

Xi=x₂ = yJ₁q, x₃= — 2x_x = —2yj\q.

^An,e 8.58. Znaleźć pierwiastki równania x³ +12x+12 = 0.