100 34

76

76

i 2° aby tę nową kratownicę można było rozwiązać sposobem Rittera lub Cremony, to

znaczy, aby można znaleźć przekrój przecinający nie więcej niż trzy pręty. Weźmy np. z kra-* townicy danej pręt A-C, a wstawmy inny, np. E-G (rys. 2.52). Otrzymana nowa kratownica jest oczywiście statycznie wyznaczalna i spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności V = 0 (ilość prętów i węzłów nie uległa zmianie). Sprawdzić należy jedynie warunek wystarczający geometrycznej niezmienności. Dwie zakreskowane tarcze połączone są ze sobą prętem E-F i przegubem G, tworzą więc razem jedną nową tarczę.

Rys. 152

Jeśli pręt C-D potraktujemy jako tarczę, to obie tarcze, a mianowicie C-D i A-E-F-B-G-A połączone są trzema prętami C-G, D-B, D-E, które nie są równoległe, ani których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Stanowi to 6 geometryczne) niezmienności całej kratownicy. Łatwo przekonać się, że tę nową kratownicę możemy rozwiązać sposobem Cremony lub Rittera. Powiedzmy, że rozwiązaliśmy ją znajdując wszystkie siły w prętach N_t-j, w tym również JV_£__C. Obciążmy teraz nową kratownicę siłami X = 1 przyłożonymi w węzłach A i C w kierunku usuniętego pręta. W tym przypadku obciążenia potrafimy rozwiązać kratownicę poznanymi sposobami, znajdując siły przekrojowe Nf.j we wszystkich prętach, w tym również N%-_c. Gdybyśmy kratownicę obciążyli siłą X 9* 1, wówczas siły w kratownicy wynosiłyby XNf-j, a w pręcie E-G XN$-_a.

W wyniku obciążeń układem (Z) i siłą X # 1 siła w pręcie E-G będzie    +XNg__a.

Postawmy teraz pytanie: Jaką siłą X należy obciążyć nową kratownicę, aby siła przekrojowa w pręcie E—G od obu obciążeń była równa zeru? Odpowiedź jest prosta: wtedy gdy

Otrzymany rezultat jest równocześnie odpowiedzią na pytanie — jaka jest siła w pręcie A-C kratownicy danej przy obciążeniu (Z), albowiem w kratownicy danej nie było pręta E-G, co jest równoznaczne z istnieniem takiego pręta, w którym siła przekrojowa jest równa zeru.

Jeśli teraz w kratownicy danej znana jestsiła przekrojowa w pręcie A-C, to wyznaczenie dalszych sił sposobem Cremony lub Rittera nie sprawia trudności. Nie ma jednak potrzeby kolejnego rozwiązywania, możemy bowiem wykorzystać rezultaty dotychczasowych obliczeń pisząc:

PODSTAWY LINIOWEJ- TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

§ 1. Analiza staną naprężenia

/

Definiując w rozdziale 1 siłę wewnętrzną P = P(r, a) podkreślaliśmy, że pole wektorowe tych sił będzie przedmiotem szczególnej analizy. Wbrew pierwszemu wrażenia rozważania w rozdziale 2 nie dotyczyły analizy tego pola, a jedynie ograniczały się do znajdy* -cia układu zredukowanego sił wewnętrznych w zadanym przekroju, którego znajomość — co jeszcze raz warto podkreślić — nie oznacza znajomości układu. W wicia przypadkach ■natomiast, między innymi w prętach, siły wewnętrzne będziemy mogli wyrazić poprzez siły przekrojowe. Ponieważ pręt jest tą szczególną bryłą, na której ilustrować lięiljifjy rozwiązania podstawowego zagadnienia wytrzymałości materiałów, a także potrzeby przedmiotu statyki budowli, dlatego też stosunkowo szczegółowo omówiliśmy sposób znajdy-wania zredukowanego układu sił wewnętrznych. Przystępując do określenia poła gj| wewnętrznych, wprowadzimy kilka pojęć, które ułatwią'nam rozwiązanie zadania.. Do najważniejszych w tym paragrafie należą pojęcia naprężenia i tensora naprężeń.

1.1 Definicja naprężenia

Każdemu punktowi leżącemu na płaszczyźnie przekroju bryły przyporządkowana jest siła wewnętrzna. Mamy więc do czynienia z układem nieskończonej ilości sił. Z w idu powodów znacznie dogodniej będzie się posługiwać w analizie sił wewnętrznych pojęciem gęstości tych sił. Gęstość sił wewnętrznych nazywać będziemy w dalszym ciągu naprężeniem. Jakim „przedmiotem** jest naprężenie, odpowiemy obliczając wspomnianą gęstość sił wewnętrznych. Rozważmy zatem dowolny przekrój bryły płaszczyzną o normalną H przechodzącą przez punkt A, o wektorze wodzącym r (rys. 3.1). Wokół punktu A weźmy element powierzchni AF. Niech APoznacza sumę sił wewnętrznych, przyporządkowanych punktom powierzchni AF:

AP — y P^r-f Ar., ») I