100 44

96

Pozestawiamy czytelnikowi wyznaczenie wersora *' (odp.; #1(0,0,1».

W nowym układzie wyznaczonym werwami    macierz naprężeń przyjmuje postać

Obie macierze naprężeń: daną oraz wyznaczoną w osiach głównych, przedstawimy graficznie. W rozważanym przykładzie punkt materialny w postaci sześcianu na rys. 3.4 możemy przedstawić w postaci kwadratu {rys. 3.11) albowiem w obu macierzach elementy trzeciego wiersza i trzeciej kolumny są równe zeru.

Rys. 3.11

1.10. Ekstremalne naprężenia styczno

powiadającego tej płaszczyźnie na tę właśnie płaszczyznę była ekstremalna?

Postawmy następujące pytanie: jaką płaszczyzną należy przeciąć bryłę 'przez dany punkt, w którym dana jest macierz naprężeń, aby miara rzutu wektora naprężenia, od-

Odpowiadając na to pytanie, dla uproszczenia rachunku, załóżmy, że macierz naprężenia w danym punkcie określona jest w układzie osi głównych (7, 2,3):

Przetnijmy bryłę płaszczyzną przechodzącą przez punkt B' o wersorze normalnej zewnętrznej r(o., ,o„₂,a,j) określonym w przyjętym układzie (rys. 3.12).

Oznaczmy miarę rzutu wektora p₀ na normalną przez cr,, zaś miarę rzutu na płaszczyznę przez t,. Poszukamy, jak wyraża się t, przez elementy danej macierzy naprężeń oraz poprzez współrzędne wersora e. W tym celu obliczmy najpierw współrzędne wektora p„. Zgodnie ze wzorem (3.17) mamy

Miarę rzutu wektora p„ na oś wyznaczoną wersorem * obliczamy «r„ - p,'» -

Tak więc kwadrat miary rzutu wektora p, na płaszczyznę będzie co wobec

.W^a -

daje

rj - orfa*, +cri«ił+<r5ai,-Gr₁*5_i+<T2*rt+<r,**,)² -    (JJ!)

Rys. 3.12

(4

Widać stąd, że r* jest funkcją trzech zmiennych a,,; możemy to wyrazić inaczej: różnym płaszczyznom o normalnej e przyporządkowana jest inna wartoćć t*. Jak podkreślaliśmy już w punkcie 1.8 tego paragrafu zmienne a,, nie są niezależne, wiąże je bowiem warunek (3.22).

Postawione na wstępie zadanie sprowadza się więc do znalezienia ekstremum funkcji (3.31) z warunkiem pobocznym (3.22). Obliczenia przeprowadzimy teraz nieco inaczej niż w punkcie 1.8; z warunku pobocznego jedną ze zmiennych, np. z,₃. wyrazimy przez pozostałe i po podstawieniu do wzoru (3.31) otrzymamy funkcję dwóch tiukn-nych ctpi i a,_2f która po pewnych przekształceniach przyjmuje postać

tp = (ff? - fff) «ii +    ~ oj) a L+ffJ - [(<r, - a₃) ^*{#*-* #a)*«t +'*)*• (3.32)

Warunek konieczny istnienia ekstremum tej funkcji jest następujący:

~ = 2(a²l-a²i)a._l-2t(ff_Ł-a_i)7i_l+(<T₁-(T_i)a\_i+c₃]-2(<r_l-9_i)*,i »0, (3J3a)

*”**1

.    * 2(«z|—ffS)*rt~2[(<r_ł--<r_ł)Bj;₄+(02—ffj)«ij+<Zjj*2(<r_ł-^)3i_ej = 0.

^m9i

I — WytetymaloSć matorUlów—