103

■Stabilność 103

Przyjmiemy, że z ogólnej liczby n pierwiastków wielomianu charakterystycznego / pierwiastków leży w prawej, a n — l w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej (wtedy A(jco) =f 0 dla wszystkich wartości co). Z wzorów (11.34), (11.35) i (11.36) wynika, że przyrost argumentu wektora A(jco) jest następujący:

(11.37) Ponieważ	Aarg A(jco) = (?? -l)n -In = (w - 2!)n —Xi<£K4<0
(11.38)	Re A(-jco) = Re A(jco)
(11.39)	Im A(- jco) = - Im A(jco)

zatem wykres A(jco) jest symetryczny względem osi rzeczywistej. Dlatego wzór (11.37) można zapisać w postaci równoważnej:

(11.40)    Aarg A(j0) = (n-2l)^-

0</żX4oC'    2

Wzór ten może służyć do ustalenia liczby pierwiastków- położonych w lewej i liczby pierwiastków położonych w prawej półpłaszczyźnie (położenie na osi urojonej jest wykluczone z założenia). Szczególnie istotne jest ustalenie, czy wszystkie pieiwiastki są położone w lewej półpłaszczyźnie (tzn. czy 1 = 0). Odpowiednie twierdzenie jest znane jako kryterium Michajłowa:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wszystkie pierwiastki wielomianu A(s) stopnia n były położone w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej jest, aby wektor A(jco) przy zmianie wartości para-

/T

metru co od 0 do + co zatoczył kąt n—, tzn.

(11.41)    Aarg A(jco) = n—

(teftK+cc*    2

Przy tym dla wszystkich co powinien być spełniony warunek: A(jco)^ 0 (jeśli istnieje co, że A(jco) = 0, to wielomian A(s) ma pierwiastek położony na osi urojonej).