107(1)

1. Całki parzystych potęg sinusa i cosinusa można obliczać drogą kolejnego obniżania potęgi o dwa, za pomocą wzorów:

2

2. Całki nieparzystych potęg sinusa i cosinusa obliczamy, zapisując funkcje podcałkowe sin²ⁿ⁺¹x i cos²" 'x odpowiednio przez sin²"xsinx oraz cos²ⁿxcosx i podstawiając jako nowe zmienne _ cosx oraz z = — sin.r, czyli od wyrażenia podcałkowego oddzielamy jeden czynnik i odpowiadającą mu cofunkcję obieramy za nową zmienną całkowania.

3) Całki o postaci II, w przypadku gdy obydwa wykładniki są parzyste, można obliczać zgodnie z regułą 1. W przeciw nym razie, gdy jeden lub oba wykładniki są nieparzyste, stosujemy regułę 2.

4.    Całki o postaci III można obliczać przez podstawienie nowej zmiennej, zamiast tgx lub odpowiednio ctgx.

5.    Całki o postaci IV obliczamy przez przekształcenie iloczynów wyrażeń podcałkowych na sumę, wg wzorów:

sin ax cos bx = „ [sin (a—b) x—'sin (a b)x\ sin ax sin bx = — [cos (a—b)x—cos {a+b)x] cos ax cos bx = [cos (a+ó)x-f-cos(n—ó)x]

512. Obliczyć całki:

2) Stosując regułę i. otrzymamy

I cos⁴xdx — J (cos¹ x)¹ dx = -y j (l cos 2x)¹dx =

J

“4

j dx\ I cos 2xd(2x) + j' cos¹ 2.vc/xj

Pierwsze dwie całki obliczamy wprost ze wzorów podstawowych, ostatnią całkę obliczamy osobno na podstawie reguły 1

j cos¹ 2x dx = J J (1 cos4a-Ky- J <jdx-\-~ {_Ca$4xd (4x)=

x

2

8

sin 4.v

Podstawiając otrzymany wynik do poprzedniej równości, znajdujemy

J cos⁴ xdx — ~ |*-( sin 2x+

sin 4.v I 4- C =

a:    1

8

3    1 .    1

“ - g- *+ y sin 2x+ — sm 4*-f C

3)    Na podstawie reguły 2, oddzielamy od potęgi o wykładniku nieparzystym jeden czynnik: sin\v — sin⁴xsinx i obieramy jego cofunkcię za nową zmienną, czyli podstawiamy cosx = z. Otrzymamy wówczas

—sin xdx — di oraz

I sin^sxdx — j (1 —cos¹ x)² sin xdx =    (1-z¹)¹ (-dz) =

C,    ,    2z^J z⁵

= — I (1— 2z¹+z⁴) dz = — z+~2---5"+C =

= Y- i₂sin6x+C

1—cos2.v \i¹2x

dx

~ ' $ (j siz¹2xdx — j

sin¹2xdx— ( sin¹2xcos2xdx\ =

= -! Th-h)

217

1

1

2

= C—COS JC+ -y COS² X--y COS⁵ X

4)    Na podstawie reguły 3 i 1, otrzymujemy

^ ⁼ ) ^si.ⁿ⁴ x cos2 xdx= j sin¹ x (sin x cos x)¹ dx —