10872209”591408876157340938247 n

sag

.[41 4—1. L 16 łój

Symbol y? oznace optymalną wartość zmiennej dualnej odpowiadającej ».temu warunkowi, którego wyraz wolny zwiększono o jednostkę

Twierdzenie 3. odnosi siÄ™ do ..stabilnych’ rozwiÄ…zaÅ„ LZD. Stabilność rozwiÄ…zaÅ„ rozumiana jest w ten sposób, iż dodanie jednostki do wyrazu wolnego pewnego warunku ograniczajÄ…cego (przy pozostaÅ‚ych wyrazach wolnych nie zmienionych) nic wpÅ‚ywa na rozwiÄ…zanie (optymalne wartoÅ›ci zmiennych) zadania dualnego. Jeżeli wartość funkcji celu. w której chodzi, np. o maksymali zacjÄ™ przychodu, zysku, utargu, ma wymiar (miano) wartoÅ›ciowe [zÅ‚], a warunk ograniczajÄ…ce rozmiary dziaÅ‚alnoÅ›ci ze wzglÄ™du na dostÄ™pne zasoby majÄ… wy miar iloÅ›ciowy (kg. szl.. m], to zmienna dualna ma wymiar [zlkg. 7.1/szt, 7.Vm] Takie wymiary majÄ… ceny i dlatego zmienne dualne nazywane sÄ… cenami du alnymi Jeżeli wyrazy wolne wyrażajÄ… dostÄ™pne zasoby Å›rodków, to sÄ… to ceny kraÅ„cowo tych Å›rodków, ponieważ wyrażajÄ… przyrost wartoÅ›ci (funkcji celu) spowodowany przy rostem zasobu Å›rodka (wyrazu wolnego) o jednostkÄ™.

Przykład

W przykładzie z poprzedniego paragrafu:

18* j + 15*2 —* war.

8x, + 4x₂ ^ 52.

(lOp)    6x, ♦ 9*2 S 69.

*1 • *2* 0.

chodzi o zmaksymalizowanie przychodu ze sprzedaży dwóch wyrobów wytwarzanych przy użyciu dwóch surowców. Normy zużycia (w jednostkach surowców uh jednostki wyrobów) to współczynniki, a limity surowca (w jednostkach surowców) to wyrazy wolne warunków ograniczających, natomiast ceny wyrobów (w zł na jednostki wyrobów) to wagi funkcji celu. Zinterpretować rozwiązanie zadania dualnego.

Rozważmy zadanie:

lS.i j + 15*2 —* max

8*, + 4*n S 53.

(lip)    6*j + 9*2 ^ 69.

*1.    x₂* 0.

które różni się od (lOp) pierwszym wyrazem wolnym Wyraz wolny pierwszego warunku ograniczającego w(ł lp) jest o jednostkę większy od wyrazu wolnego

pierwszego warunku w (lOp).

Oba zadania dualne do (10p), (lip) mają te same rozwiązania, równe

y° = [1.5 l] Spełnione jest w ięc założenie twierdzenia 3.

Rozwiązanie optymalne zadania < 1 Op) wyraża wektor x°*^,0> = [4 5], _a

rozwiązanie optymalne zadania (lip) wyraża wektor

Optymalna wartość funkcji celu zadania (lOp) wynosi 147 zÅ‚, a optymalna wartość funkcji celu zadania (lip) wynosi 148,5 zÅ‚. Wskutek przyrostu wyrazu wolnego pierwszego warunku ograniczajÄ…cego o jednostkÄ™, wartość funkcji celu przyrosÅ‚a o 1.5 zÅ‚ (>-f = 1.5). Jest to cena kraÅ„cowa (cena 53. jednostki) surowca 1 (Jeżeli jednostkÄ… jest tona. to 4— jedn. oznacza 4 1S7.5 kg. a 4— i«dn ozna-

16 16

cza 4875,0 kg ). Zatem

•    gdyby przedsiÄ™biorstwo dy sponowaÅ‚o dodatkowÄ… jednostkÄ… surowca 1. to -przy 69 jednostkach surowca 11 - maksymalny przychód ze sprzedaży wyrobów byÅ‚by o 1.5 zl wyższy.

•    g^d>by natomiast przedsiÄ™biorstwo dysponowaÅ‚o dodatkowÄ… jednostkÄ… surowca II, to - przy 52 jednostkach surowca I - maksymalny przychód ze

sprzedaży wyrobów byłby o 1 zl wyższy.

12.3. Twierdzenie o równowadze Co /<> jest?

Jest to twierdzenie wskazujące na związki między zmiennymi jednego zadania a warunkami ograniczającymi drugiego zadania dla zadań dualnych względem siebie.

209

208