1003895S092534362313954445778 n

•    Definicja izomorfizmu liniowego. Równoważne warunki na „izomorficzność” odwzorowania liniowego; również w terminach macierzowych.

•    Kiedy dwie przestrzenie liniowe są izomorficzne? (własność wyrażona w terminach wymiaru wraz z dowodem).

•    Wzór na macierz odwzorowania liniowego przy zmianie baz (wraz z dowodem).

•    Do jakiej „najprostszej" postaci można sprowadzić macierz przekształcenia liniowego przy zmianie łwiz? (Postać normalna macierzy odwzorowania liniowego).

•    Definicje i związki rzędów macierzy oraz rzędów odwzorowań liniowych.

•    Charakteryzacja rzędu w terminach minorów.

•    Twierdzenie Kroncckera-Capclliego o istnieniu rozwiązań układów równań liniowych, (treść)

•    Definicje i związki pomiędzy wektorami własnymi, wartościami własnymi oraz wielomianami charakterystycznymi endomorfizmów liniowych

•    Czy istnieje endomorfizm liniowy bez wektora własnego dla skończenie wymiarowej przestrzeni nad ciałem S i/lub C? (odpowiedź uzasadnić).

•    Twierdzenie o postaci kanonicznej Jordana. (treść)

•    Co to jest funkcjonał liniowy? Co to jest przestrzeń sprzężona?

•    Związki pomiędzy odwzorowaniem liniowym / : V — W oraz odwzorowaniem sprzężonym /* : W’ • V'*.

ó Funkcjonały dwuliniowe, pr/.estrzeilio ortogonalne i Euklidesowo:

•    Definicja funkcjonału dwuliniowcgooraz macierzy funkcjonału dwuliniowego.

•    Wzór na macierz funkcjonału dwuliniowego przy zmianie baz (wraz z dowodem).

•    Do jakiej „najprostszej” postaci można sprowadzić macierz funkcjonału dwuliniowego przy zmianie baz?

•    Definicja przestrzeni ortogonalnej, niezdegenorowanej przestrzeni ortogonalnej, przestrzeni Euklidesowej.

•    Pojęcia bazy ortogonalnej i bazy ortonormalncj oraz twierdzenia dotyczące ich istnienia.

•    Twierdzenie o ortogonalizacji Schmidta (treść)    U,_/g,^

•    Co to jest izomorfizm ortogonalny? Kiedy dwie przestrzenie ortogonalne nad ciałem C i/lub R są izomorficzne? (wyjaśnić pojęcie rzędu i sygnatury przestrzeni ortogonalnych)

•    Kryterium Sylvestcra. (treść)

Tematy pominięte:

•    Opis metody eliminacji Gaussa rozwiązywania ogólnych układów równań liniowych, (to zagadnienie może pojawić się na egzaminie ustnym)

•    K-algebry.

•    Kongrucncjc i przestrzenie ilorazowe.

•    Endomorfizmy wzajemnie sprzężone i samosprzężono.

•    Postać kanoniczna macierzy przekształcenia ortogonalnego przestrzeni Euklidesowej.

i