132(1)

Z kolei dzielimy śluzę prostą x = c i obliczamy parcie wody wywierane na g< rną i dolną jej część, całkując dP w granicach od 0 do c i od c do 6, a następnie przyrównujemy obie całki

r    6

18 | xdx = 18 I xdx, [x²]Jj = [x²]®, c² = 36 — c²

6    c    •

Stąd znajdujemy c = 3 ] 2mz4,23 m.

659. Wyznaczyć parcie u'ody na pionową zaporę w kształcie trapezu, której wymiary podane są na rys. 124.

Rozwiązanie. Załóżmy, że zakreskowana część trapezu leży na głębokości x w płaszczyźnie poziomej i jest prostokątem o bokach y i dx. Parcie wody na tę część trapezu wynosi w przybliżeniu AP ~ xydx = dP.

h

Wobec tego parcie wody na całą zaporę będzie równe P = / xydx.

o

Aby obliczyć tę całkę wyrazimy zmienną y w funkcji zmiennej x. W tym celu prowadzimy prostą pomocniczą CE równolegle do BA. Z podobieństwa trójkątów DCE i MCN wynika proporcja

(a—b) : (a—y) — h : x

z której znajdujemy y = a—{a—b).

Po podstawieniu wyznaczonej wartości y pod całkę i scałkowaniu, otrzymamy

h

J»	T a-~{a-b)	dx =	a | xdx—~f~~ \ *^2dx
0	L ^/z J		L - J

h²(a-\-2b) 6

660. Obliczyć parcie wody na powierzchnię kuli o średnicy 4 m, jeżeli środek kuli znajduje się na głębokości 3 m od powierzchni wody.

Rozwiązanie. Prowadzimy przez środek kuli płaszczyznę pionową i obieramy na niej prostokątny układ współrzędnych xOy, jak pokazano na rys. 125.

Przetnijmy kulę płaszczyzną poziomą na głębokości h. Parcie wywierane na odciętą część kuli będzie pewną funkcją P(h). Jeżeli h zmieni się o wartość

Rys. 125

dh, to pole S odciętej części powierzchni kuli, jako pole powierzchni obrotowej (obrót dokoła osi Ox), zmieni się o wartość AS z. 2nydl = dS, gdzie dl jest różniczką łuku okręgu, a parcie wody P(h) zmieni się o wielkość AP z 2nhydl = dP.

Wyrażając dP jako funkcję jednej tylko zmiennej * i całkując w granicach od .v = —2 do * = 2, otrzymamy wartość parcia wody na całkowitą

powierzchnię kuli. Z równania okręgu ,\-²—>’² = 4 znajdujemy y' — — i,

____ >'

a stąd dl — j 1 — (y')² dx — 1 1 -j— dx. Z rysunku widzimy, że h =

= 3+x. Wobec tego

2 2

P = 2tz I (3--,v)y ²-dx - 4tc I (3-( x)dX-~ 2jr[(3+x)²]i₂ =

J    V    J

—2    ^J    —2

- 48ti Ton * 470 880jt Ns0,471sr MN

Parcie P_x wywierane na górną półkulę otrzymamy całkując dP w granicach od —2 do 0

Pj = 2n[0+xf\^rL₂ = 16tz Ton* 156 960rr N*0,157rt MN Natomiast parcie P₂ wywierane na dolną półkulę wyniesie

P, = 2jt[(3-f-jc)²]§ = 32st Ton* 313 920.t N*0,314rr MN

267