135(1)

Dla G_a = 1,5T, H =2000 km, R = 6400 km, praca L si 2285 714000 kGm s: 22 422 854 340 J.

Chcąc obliczyć pracę, jaką musi wykonać silnik rakiety, ażeby wynieść ją do strefy wolnej od przyciągania ziemskiego (bez uwzględnienia ruchu Ziemi), należy obliczyć granicę, do której dąży L(/T). gdy //rośnie nieogra-niczenie

lim L{H) = lim

o

G_aRH

R+H

= lim

G_aR:

+ 1

~ G_gR

Przy podanych wyżej wartościach G₀ i R praca ta wyniesie 9 600000000 kGm » 94 176 000 000 J.

665. Zbiornik cylindryczny o wysokości H -- 1,5 m i promieniu R = = 0,4 m napełniono gazem pod ciśnieniem atmosferycznym (10 330 kG,/m²) i zamknięto tłokiem. Obliczyć pracę potrzebną do przesunięcia tłoka o h = 1,2 m przy sprężaniu gazu, jeżeli sprężanie przebiega: l) izotermicz-nie, 2) adiabatycznie.

Rozwiązanie: 1) Jeżeli zmiana stanu gazu przebiega izotermicz-nie, przy stałej temperaturze, to zależność między objętością V i ciśnieniem p gazu wyraża się wzorem pV = c — const (prawo Boylc’a i Mariotte’a).

Wobec tego przy przesunięciu tłoka o x m do wnętrza zbiornika (rys. 129), ciśnienie gazu p(x), tj. parcie przypadające na jednostkę powierzchni tłoka,

		/
		7		l
		-
dxt			-X— -

Rys. 129

c    c

wyniesie p(x) = “j7₍^rvj~ - S(f/—x) ’ ^a P^arc'^{e na ca}*4 powierzchnię tłoka .wyniesie P(x) = Sp(x) = _H^C_~-

Praca L{x), jaką należy wykonać, aby przesunąć tłok o ,\- m, jest pewną funkcją jego położenia. Załóżmy, że przy dalszym przesuwaniu tłoka do wewnątrz na bardzo małą odległość dx działające na tłok parcie P(x) nie ulega zmianie. Wtedy przybliżona wartość przyrostu funkcji L(x) (jej różniczka) będzie równa

AL s; P(x)dx =    ^ dx — dL

Całkowitej pracy L odpowiada zmiana x od 0 do /;, czyii

^L = c i ⁼ “^ctln(//-^Jc)1» - ^Hn hZT

0

Dla H = 1,5 m, R — 0,4 m, h — 1,2 m,p₀ = 10 330 kG/m² znajdujemy: F₀ - tzR^zH = 0,24,-r m³; c = p₀F₀ = 2 479,2rr kGm; L s 12 533,3 kGm * » 122 951,7 J.

2) W procesie adiabatycznym'¹ objętość F i ciśnienie p gazu łączy związek pV^k = c — const (prawo Poissona), gdzie k jest pewną wielkością większą od jedności, stałą dla danego gazu (dla powietrza k = 1,4).

Rozumując jak w poprzednim zadaniu i stosując te same oznaczenia znajdujemy następujące wyrażenie dla różniczki pracy sprężania gazu

dL(x) =

cdx

S^k~^l{H — x)^k

Całkując to wyrażenie w granicach od x = 0 do x = h otrzymamy całkowitą wartość obliczanej pracy

c	1 4 t _	% 0 ^r I (^H~^x) h ° PoK	$ ~^kd(H-x) = r ^1 i i
S*“^ł c	1 (H~x)^k~ (H-x)^l~^k~
st-\	1 -k	L s*-^i(k-1)	_(,H-h)^k-' J/^k-^ł J

-17—F-il

A-l [_\H-h)    J

Podstawiając dane: H— 1,5 m, h = 1,2 m, k = 1,4 oraz wartość p₀V₀ obliczoną poprzednio, znajdujemy

2479,2n F/ 1,5 \^0,4 0,4 l\ 0,3 /

1

17 593,4 kGm »172 591,3 J

Porównując ten wynik z uzyskanym poprzednio, widzimy, że adiabatyczne sprężanie gazu wymaga wykonania większej pracy, niż sprężanie izo-termiczne.

666. Zbiornik prostopadłościenny o przekroju poziomym S = 6 m² napełniony jest wodą do wysokości II = 5 m. W pewnej chwali w dnie

0 W procesie adiabatycznym temperatura gazu zmienia się, przy czym, jeśli objętość gazu wzrasta, temperatura maleje, i na odwrót, zmniejszaniu się objętości towarzyszy wzrost temperatury.

)8 Metody rozwiązywania zadań 273