146(1)

Rozwiązanie. Ustalamy najpierw, na ile części należy podzielić przedział całkowania |^0, J, aby osiągnąć wymaganą dokładność obliczeń.

Przyjmując, że błąd <5(n) we wzorze Simpsona nie przekracza 10~⁵. będziemy mieli nierówność

< 10"-'

(b-a)‘

180n⁴

Podstawiając a — 0, b =    , y{$ = 1 |jest to najw iększa z wartości

|y⁽⁴⁾| = |cosx| w przedziale 0, ~

2⁵ • 180/i⁴

< io-

, otrzymamy

Przyjmując z kolei n = 10 (jest to najbliższa liczba parzysta większa od 8,5), wyznaczamy punkty podziału Xt i obliczamy odpowiadające im wartości y_; funkcji podcałkowej y = cosx (biorąc n ~ 3,141 592, czyli z do-

kładnością o jeden rząd większą niż wymagana)
xa — 0,000 000	yQ = 1,000 000
= 0,157 080	y, = 0,987 688
x2 = 0,314159	y2 = 0,951 057
*3 = 0,471 239	y3 = 0,891 007
Xą = 0,628 318	y4= 0,809 017
*5 = 0,785 398	y5 = 0,707 107
*6 = 0,942 478	y6 = 0,587 785
x1 = 1,099 557	y7 = 0,453 991
x8 = 1,256 637	y8 = 0,309 017
= 1,413 716	y9 — 0,156 435
x10 = 1,570 796	y,0 = 0,000 000

Po wstawieniu tych wartości do wzoru Simpsona otrzymamy szukaną wartość całki (z dokładnością do 10⁵)

5T

T

( cosxdx x 0,052 359 9(1 +4 ■ 3,196 228 {-2 • 2,656 876) i 1,000 00 'o

Rozwiązując to zadanie wykazaliśmy, że aby obliczyć całkę z wymaganą dokładnością, gdy funkcja podcałkowa jest znanym wyrażeniem analityczny ni, można z góry określić ilość podziałów przedziału całkowania, niezbędną do zabezpieczenia żądanej dokładności, na podstawie podanych nierówności szacujących błąd wzorów przybliżonych.

Jednak w wielu przypadkach wyrażenie analityczne pod znakiem całki jest tego typu, że trudno jest dlań znaleźć najw iększą z wartości pochodnych pierwszego, drugiego czy też czwartego rzędu w całym przedziale całkowania, które to wartości występują w oszacowaniu błędu przybliżonych wzorów całkowania (prostokątów, trapezów' i Simpsona). Dlatego w praktyce, zamiast podanych tu nierówności dla oszacowania błędu przybliżonych wzorów' całkowania, stosuje się często inne kryteria, które są podawane w specjalnych podręcznikach poświęconych obliczeniom przybliżonym.

2    i

/' ffoę    r

703. Całki. 1)    |    ,    2) I — obliczyć na podstawie wzoru

v A    .V i 1

1    O

Newtona-Leibniza i na podstawie przybliżonych wzorów całkowania (prostokątów, trapezów i Simpsona), dzieląc przedział całkowania na 10 równych części, a następnie oszacować procentowo błąd popełniony przy stosowaniu wzorów przybliżonych (przy obliczaniu zachować cztery miejsca dziesiętne po przecinku).

704*. Na ile części należy podzielić przedział całkowania, aby według wzorów przybliżonych: 1) prostokątów, 2) trapezów i 3) Simpsona obliczyć

z dokładnością do 10~² całkę

705. Obliczyć całki j j^- i j sin (.r)dx na podstawie wzoru Simpso-2    b

na, dzieląc przedział całkowania na 10 równych części¹¹.

706*. Obliczyć długość łuku elipsy ;c=10cosf, y = 6sinf, stosując wzór Simpsona do całki określającej czwartą część łuku¹'.

>) Przy obliczeniach zachować trzy miejsca dziesiętne po przecinku.