124(1)

x G (x,; x,)    x G 0

(xg{x,-.x₂))    (*€{.*,})

■t G 0    X G (-<»:*,) u (*,; +cc) x G «\{x}

(*€0) (.te (-»:*,) u {.t,:+«>)) (xeff)

xen

(*6#|

3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

O

Uwaga: W przypadku nierówności ostrych (>0 lub <0) końce x_t, x_v (lub x ) nie należą do zbioru nwL: zań - przedziały są w tych końcach otwarte. W przypadku zaś nierówności słabych (> 0 lub < 0) końce a ,, (lub a,J należą do zbioru rozwiązań (bo w nich zrealizowane są rów ności: =0) - przedziały są wiecwfitłi końcach domknięte.

c) Porównanie procedury rozwiązywania równania i nierówności kwadratowej.

Równanie ax *' + bx + c = 0

Nierówność

2 > 2 < ax + hx + c ^ ^ 0 lub ax + bx + c

Obliczamy:

wyróżnik A oraz istniejące pierwiastki (miejsca zerowe funkcji kwadratowej). .v,. a. lub x. ewentualnie stwierdzamy ich brak.

Formułujemy odpowiedź:

•V, — .... jf,⁼ ... lub a₀= ... albo stwierdzamy brak pierwiastków (por. graf w 3.2. la.).

Ilustrujemy znaki trójmianu kwadratowego. J na osi liczbowej, zaznaczamy stosowny

i formułujemy odpowiedź: .v €---

(por. grafy (1), (2) w 3.2.1b.).

( waga: Początkowe etapy rozwiązywania zarówno równania, jak i nierówności są identyczne.

wanie równania kończy się w momencie obliczenia pierwiastków. Nierówność ilustruje się jeszcze na -

bowej i wybiera stosowny przedział.

3.2.2. Równania i nierówności kwadratowe niezupełne (b = 0 lub c = ^{))    ^

W trójmianic kwadratowym ux‘ + bx + c mamy a f- 0. Rozpatrzmy różne wartości wspólczyn w trójmianic kwadratowym ax‘ + bx + c.

c = 0

b = 0

h

<IX

(IX

+ bx

c / 0

trójmian kwadratowy niezupełny trójmian kwadratom

ax ‘ + c    ^(tX +

trójmian kwadratowy niezupełny    trójmian kwadra

e (-oo;o) u |-£: + »j

„ja kwadra*⁰"* niezupełne można rozwiązywać bez obliczania wyróżnika A:

c II 5	OA* + ÓA = 0	ax^2 + c = 0
A

Nierówności kwadratowe niezupełne można rozwiązywać bez obliczania wyróżnika A:

[ (l) przypadek: b = c = 0:

6LV* < 0	oa^2** 0	oa‘ > 0	ov“ ^ 0
A < 0	A^a< 0	x~ > 0	A^2 > 0
nierówność	nierówność	nierówność	nierówność
fałszywa	spełniona	prawdziwa	zawsze
(bo a * > 0)	tylko dla a = 0	dla x # 0	prawdziwa
A G 0	.<£{0}	A G /? \ { 0 }	AG R
b £ 0 A c = 0:
ax' + bpi < 0	ax^:+ bx < 0	</a* + bx > 0	«a* + bx ^ 0

.r (oa + b) < 0 na przykład: a < 0 i b > 0

.v (a.v + />)>() na przykład: a < 0 i b < 0

podwójny)

a( ax + b) = 0 .v,= 0 lub a, =-77	\-§>o
	brak
	pierwiastków

x (ttv + b) > 0 na przykład: a > 0 i b > 0

3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

- / + \ -

■E77

OM

at‘ + c < 0

-/¥ /¥

+*, m

-ł\

(—oo;-4ju(0:

ax' + c > 0

av ^ -c

na przy kład: a < 0

na przykład: c > 0

^-EZ*.

.V €

ax‘>-c na przykład: o < 0

na przykład: c < 0. wtedy

“S < 0

i a < Trjjjest nierównością fałszywą, ,(6 0

•+

£z.

oa* > -c na przykład: </ > 0

na przykład: c > 0, wtedy “<7 < 0 i .v ^ - 77 jest nierównością zawsze prawdziwą,

.v G

CD