124(1)

Rozwiązanie. Płaski przekrój elipsoidy, równoległy do płaszczyzny xOz i odległy od niej o y = //(rys. 104), jest elipsą

albo

której półosie wynoszą odpowiednio a, = ~    i = -^-\fb²—h².

Pole przekroju, jako pole elipsy, obliczamy na podstawie wzoru otrzymanego przy rozwiązaniu zad. 611 (4)

S(h) = na_lCl = ~ (b²-h²)

Po podstawieniu S(h) do wzoru (*) otrzymamy objętość elipsoidy

W przypadku szczególnym, gdy a — b = c, otrzymany wz r na objętość elipsoidy sprowadza się do wzoru na objętość kuli V = y na².

628. Obliczyć objętość wspólnej części dwóch walców: X¹ -fy² = a² i y²+^ = ^a“ (tj. objętość ograniczoną danymi powierzchniami walcowymi).

Rozwiązanie. Rysujemy ósmą część rozważanej bryły (rys. 105).

Z rysunku widać, że każdy przekrój bryły płaszczyzną równoległą do płaszczyzny xOz jest kwadratem. Pole przekroju PQNM, odległego od płaszczyzny xOz oh — OM jest równe polu kwadratu o boku MP = MN =

■ —\^a²—h². Stąd

S(h) — a²—h²,    0

Szukaną objętość obliczamy na podstawie wzoru (*)

a

V = 8 | (cr—h²)dh = 8 0

629. Obliczyć objętość części paraboloidy eliptycznej z —    od

ciętej płaszczyzną z = k (k > 0).

630. Obliczyć objętość wspólnej części dwóch walców eliptycznych a²    b²    a² ' b²

631*. Obliczyć objętość bryły ograniczonej walcem parabolicznym 2 = 4 —płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyzną x = a.

§ 5. Objętość bryły obrotowej

Jeżeli pewna bryła powstaje przez obrót trapezu krzywoliniowego x_{ABx₂ dookoła osi Ox (rys. 106), to każdy z jej płaskich przekrojów, prostopadłych do osi Ox, stanowić będzie koło o promieniu równym odpowiedniej rzędnej krzywej y — f(x).

Pole przekroju S(x) odpowiadającego odciętej x, jako pole koła, będzie równe ny².

Różniczką objętości odpowiadającą przyrostowi dx będzie dV — ny'¹dx, a całkowitą objętość brył}' obrotowej określa wzór

XI

V = 3i J y²dx (.v₁<.r₂)    (A)

X\

251