153(1)

2) /(.v, y, z) --- j/jc^-f y² l-^², przy przesunięciu-punktu A/(x, y, 2) z poło

żenia M₀(10, —10, 5) do położenia Alf9, —11, 6).

737. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia l,94²e⁰-¹², biorąc za podsta

wę wartość funkcji f(x, y) — x²e^y w punkcie M_n(2 0) i zastępując całkowity jej przyrost różniczką zupełną (obliczenia wykonać z dokładnością do 0,01).

738. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia sin 1,59 • tg 3,09, biorąc za punkt wyjścia wartość funkcji z = sinxtgy w punkcie M₀

i zastępując całkowity jej przyrost różniczką (z dokładnością do 0,01).

739. Obliczyć przybliżoną wartpść wyrażenia 2,68^sin0'⁵, biorąc jako punkt wyjścia wartość funkcji z --= x^eiay w punkcie M₀(e, 0) i zastępując jej przyrost różniczką (z dokładnością do 0,01).

§ 5. Różniczkowanie funkcji złożonych

Zmienna z nazywa się funkcją złożoną zmiennych, niezależnych x,y, ..., t, jeżeli jej zależność od tych zmiennych jest wyrażona za pomocą argumentów pośrednich u, v, iv

z = F(u,v,.... w)

gdzie: u =f(x,y,    t), v = <f(x, y, ..., t), w = y>(x,y, ..., /).

Pochodna cząstkowa funkcji złożonej względem jednego z jej niezależnych argumentów jest równa sumie iloczynów powstałych z pomnożenia pochodnych cząstkowych względem argumentów pośrednich i pochodnych cząstkowych tych argumentów pośrednich względem obranej zmiennej niezależnej

8z 8w 8w 8x

8z    cz 8u    8z 8v

8x    Su 8x    8v 8x

8y ~

8 z 8 u    8 z 8v    8 z 8 w

(*)

W'szczególności, jeżeli wszystkie argumenty u,v,w będą funkcjami jednej tylko zmiennej niezależnej x, to i z będzie funkcją złożoną tylko x.

pochodna takiej funkcji złożonej Godnej zmiennej niezależnej) nosi nazwę pochodnej zupełnej i jest określona wzorem

dz _ Sz du _t dz dv ,    Sz d^w

dx Su dx ' Sv dx '    ' 8w dx

(Wzór ten powstaje ze wzoru na różniczkę zupełną funkcji z(u,v.....w)

przez podzielenie tego ostatniego przez dx).

740. Wyznaczyć pochodne funkcji złożonych:

1)    y = uV; u = sinx,o = cos*

2)    p = u^v; u = ln(x—y), o = e>-

3) z = xsino cos w; o = lnC^c²—1), w = —} 1 —xⁱ

Rozwiązanie- 1)W tym przypadku y jest funkcją złożoną jednej zmiennej niezależnej x. Korzystając ze wzoru (**), otrzymamy

dy_

dx

Sy du Su dx

-[-    - j— = 2ue^v cos x -f wV(—sin x)

ov dx

2) W przykładzie tym p jest funkcją złożoną dwu zmiennych x i y. Stosując wzory ogólne (*), znajdujemy

Sp

Sx

Sp ₌ Sy

Sp Su , Sp cv Su Sx ‘ Sv Sx

1    1 —

--j-w°ln u — e^y

x-y    y

Sp Su    Sp Sv

Su Sy    3v Sy

—--1- u^v ln u

y-x

3) Mamy tu do czynienia z funkcją złożoną jednej tylko zmiennej x o postaci z = F(x,v, w); v = f(x), w = (f{x). Odpowiedni wzór na pochodną zupełną takich funkcji otrzymamy ze wzoru (**), biorąc u = x; mamy

dz

dx

Sz Sz dv , Sz dw Sx ' Sv dx ¹ 8 w dx

Na podstawie tego wzoru znajdujemy

= sino cos wĄ-x coso cos >v ■ ~₂— ^ --x sin v sin w • —-=r-==

Wyznaczyć pochodne funkcji złożonych:

...    ,    ,    , du

741.    u = ez = sinx, y = ;r; wyznaczyć —

742.    z = In (e^x-\-e'); wyznaczyć: 1)    , 2)    , gdy X ~ /³

V

309