Zadania$ 05 part3

(1,2,3)

b )/= J F o dr, F = [zy,zx,xy (0,0,0)

9. Obliczyć pracę siły F przy przesunięciu punktu materialnego od punktu A do punktu B wzdłuż krzywej K jeśli:

a) F - [2    xy,y,x}>], K:    ~r(t) [cos/,sin/./], .4(1,0.0), 0,1, y),

b)    F - [x,v,x + v² - 1], K : ~r = [cos/,sin/.1 - sin / - cos/], ,4(1,0,0),F(-1,'0,2)'

10. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całki:

a)    | (y² + ln jl ■+ x²) dx + (12av + smv)riy, gdzie K jest dodatnio

r

zorientowaną

krzywą, będącą brzegiem obszaru

D = {(x,y) : y > -a- - 2, y < 4 - a²},

b)    | ycir - a dy,gdzie F jest ujemnie skierowanym brzegiem r

obszaru

ograniczonego krzywymi y x i y = a²,

c) y e^x(l- cosy)<£v -    e^x(v - śmy)dy,gdzie T jest brzegiem

r

obszaru

D: 0 < a <    n,0 < y <sinA skierowanym dodatnio.

11 Zbadać niezależność całki od drogi całkowania oraz obliczyć całkę:

a)    | (yz + jrjdr + (az + -kjriy + (az + 4-)riz, jeśli K jest dowolnym

K

Kikiem

gładkim leżącym w pierwszym oktancie układu współrzędnych o początku

.4(1,2, y) i końcu    B(l,e,e³),

b)    f (2a + yz)dx + (3v²a z)dy- gdzie K jest dowolnym

K

lukiem gładkim

o początku w punkcie .4(0,0,0) i końcu w punkcie B(\, 1,1)

12. Wykazać, że dla pól: skalarnego ę i wektorowego klasy C²

a)    div(rotff)=0,

b)    rot(gradę>)=0,

c)    div(gradę>)= Aę>.