Zadania$ 05 part1

Zadania z analizy II - całki krzywoliniowe

1.    Obliczyć długość luku:

x —    a(t - sin/). ^ „

a)    cykloidy <    , / e< 0,2    0;

l y = a{ 1 - cos i)

r

x = acost

b)    linii śrubowej (helisy kołowej)    — a sin/ ,

z-bt

t e< 0,2    n>, a    >0, b >0;

c)    paraboli y = \x²,x e< 1,2 >; -

d) sinusoidy y = siny, x €<    ~ >;

e)    spirali r = e^k<f> ( a> 0, k> 0), e< 0, f- >

f) kardioidy r - a( 1 + cos <p),(pe< -;r,/r >

g)    brzegu części paraboloidy o równaniu x² + z² = \ - y zawartej w I oktaneie okładu współrzędnych (jc >0).

2. Obliczyć masę luku    K o gęstości liniowej rozkładu    ,v), jeśli:

a)    K jest lukiem z zadania lc), zaś g(x,y) = £,

_b)    K: £ + £ = 1 Cr > 0, y > 0), (>(*,>•) = *v.

c)    A : ?(/) = [cos/,sin/,*4], / e< 0,tf >;    = z²(x² +y²),

,, „ J x²+y-+z‘- = a-    ,

d)    k : <    ,    = x~.

x+y + z = 0

3.    Wartość średnią funkcji J{x.y) = (xy)² na luku A: y = - x² x > 0, y > 0.

4.    Obliczyć całki krzywoliniowe (nieskierowane)

a)    J -^ydl, gdzie A" jest odcinkiem o końcach ,4(2,4) i 5(1,3).

K

b)    j y*dl, gdzie Kjest lukiem z zadania la),

K

^c)    J ^ dl, gdzie A jest lukiem linii śrubowej a cos/,

K

’■ >’ = a sin/, z — bt,

t e< 0,2;r > ( a,b> 0);