240520111772

Zadania z analizy II - całki krzywoliniowe

1. Obliczyć długość łuku:

x = a(t — sini) ₍ g< Q 2n > _a > 0;

a) cykloidy

’ = a(l - COSI)

x — acost y = asinl . z = bt

b) linii śrubowej (helisy kołowej)

t e< 0,2jt >, a > 0, b > 0;

c)    paraboli y = j-x², x e< 1,2 >;

d)    sinusoidy y = sin*, * e< -f,-f >;

e)    spirali r = e*⁹ (a > 0, k > 0), q> e< 0, -f- >

f)    kardioidy r - a{ 1 + cos<p),ę e< >

g) brzegu części paraboloidy o równaniu x² + z² = 1 —.y zawartej w I oktancie okładu współrzędnych (x,y,z > 0).

2. Obliczyć masę łuku K o gęstości liniowej rozkładu g(x,y), jeśli:

a)    K jest łukiem z zadania lc), zaś g(x,y) =

b)    K : £ + g = 1 (x > 0, y > 0), g(x,y) = xy,

c)    K : ■?(/) = [cos r, sini, e'], I e< 0,rr >; £(*,y,z) = z^z(x² +y²),

x+y+ż = 0

3.    Wartość średnią funkcji flx,y) = (xy)² na łuku K: y = -J\—x², * > 0, y > 0.

4.    Obliczyć całki krzywoliniowe (nieskierowane)

a)    f ykydl, gdzie AT jest odcinkiem o końcach .4(2,4) i B(l,3).

K

b)    f y³dl, gdzie K jest łukiem z zadania la),

K

c) / EsSl gdzie AT jest łukiem linii śrubowej * = a cos i, y = a sin i, z = bt,

K

t e< 0,2tt > (a,b > 0);

d)    /    gdzie K : ^ ^X ~ ^a(c0S' ⁺ ^

I . I (a > 0, 1 e< 0,2;r >), 7 = a(sinf-fcos/)

e) J (*² +y²)dl, gdzie AT jest okręgiem o równaniu x² +y² = 2ax (a > 0)

K

5. Obliczyć całki krzywoliniowe (skierowane):

a)    / xydx, gdzie K : y = sin*, * e< 0,jt >;

K

b)    f (x² -y²)dx, gdzie K : y = x², x e< 0,2 >;

K

^c) \x<fy, gdzie AT jest brzegiem trójkąta /4(0,0),5(2,0),C(0,3)