img024

POLE SIŁ

'^9yDane jest pole sil: F = (y² i -x² j jbl.

a)    Oblicz pracę sil pola przy przesuwaniu cząstki od położenia 1(0,1) do położenia 11(1,0). Zakładamy przy tym, że praca jest wykonywana:

-    po lini prostej y=l-.r,

-    po okręgu .t² +y² = 1,

-    po osiach współrzędnych .v=0,y=0.

Współrzędne wyrażone są w metrach.

b)    Czy to pole jest potencjalne?

Zgodnie z definicją, praca przy przesuwaniu cząstki z położenia I do położenia II wyraża się wzorem:

W = J F d r = j\F_Xdx + Fy Ay + F_zdz).

Granice całkowania zaznaczyliśmy w sposób symboliczny, a należy przez nie rozumieć współrzędne punktu początkowego i końcowego dane w zadaniu. Zgodnie z danymi zadania należy przyjąć, że składowa siły F_z = 0. Podstawiając do wzoru wyrażenia na F_x i F_y otrzymujemy:

0.0) „

W = j (y² dx~x² dy)

(0,1)

Dalsze obliczenia zależą od drogi, po której wykonywana jest praca, czyli matematycznie od przyjętej drogi całkowania wyrażającej się zależnościami x(y) i y(x).

Jeżeli praca jest wykonywana po drodze, dla której y-l-x, lub równoważnie x=l-y, wówczas wzór na pracę możemy zapisać w postaci:

fV~!(l-x)²dx-!(l -y²)dv-2j(l-.r²)dx-łj.

0 1 ' 0 ^J

Podobnie obliczamy pracę, gdy jest ona wykonywana po ćwiartce okręgu o równaniu

+ V“ » l.

ll    l

IP=j(l-x²)dx-j(l -y²)dy = 2 j( l — jr²) dx = -w J.

0 0 0 ^J

Zakładając wreszcie, że praca jest wykonywana po osiach współrzędnych mamy:

C⁰,°) „    „    0,0)    ,    0    0    l    0

W= j (v²dx-.r²dv)+ J (y² óx-x" dv) =■ j rdr- J.r²dv + J v²dr-J.T²dv = 0.

(0,l)    ' fi (0,0)    '0‘ l '    0'    0    '

W powyższym wyrażeniu pierwsza i czwarta całka są równe zeru ze względu na granice całkowania, natomiast w całce drogiej i trzeciej funkcje podcałkowe są tożsamościwo równe zero w obszarze całkowania, stąd i wartości całek są zerowe. Czyli wartość pracy W - 0. Jak widać praca zależy od drogi, po której jest wykonywana, stąd pole sił zadane siłą postaci F =y² i -x² j nie jest polem potencjalnym.

70j Energia potencjalna cząstki w pewnym polu o symetrii sferycznej ma postać:

U(r) = ar'² - br'¹, gdzie a i b są dodatnimi stałymi, zaś r jest odległością cząstki od centrum. Oblicz wartość ro odpowiadającą stanowi równowagi oraz maksymalną wartość siły przyciągania F_mm.

Na rysunku pokazano graficzną zależność energii potencjalnej cząstki od odległości. Jak wiemy siła działająca na cząstkę w polu centralnym wynosi

U(r)

A

gdzie r jest jednostkowym wektorem skierowanym od centrum. W naszym przypadku

7 d (a b\^A    (2 a    M^A

^F=-dA7T-~J ^r = 1^5"- 72 J r.

Jak widać składnikowi energii potencjalnej ~j odpowiada siła odpychania

i    L A

składnikowi —y siła przyciągania —jy r. Stan równowagi jest dla odległości rg dla której

F= 0 (siła odpychająca równoważona jest siłą przyciągającą ). Ponieważ odpowiada to warunkowi

dU\ dr

2 a ^A TT ^r> ^a

^ =0,

'r=r₀

ro jest odległością od centrum, dla której energia potencjalna. t/(r) ma ekstremum.W naszym przypadku

dt/|    2ą ń _n

dr\~₀ — Ą ⁺ rl-°-

Dla skończonych wartości ro równanie to jest równoważne równaniu

-2 a + bro = 0,

a stąd

Badając drugą pochodną

2 a

ro=

d²U\ dr² |

§a_2L_>0

J    o _ ^ ^ o

8a³'

stwierdzamy, że w punkcie ro U{r) ma minimum, czyli jest tó stan równowagi trwałej (patrz rysunek). Z kolei aby znaleźć maksymalną wartość siły działającej na cząstkę musimy zbadać pochodną

Af dŁA d_(2a M_ 6ą, 2fc

dr\ dr z ⁼ dr V r³ ~ r- )    r^{4 +} r³ '

6a 2 b f nunc

W punkcie r = r_max, dla którego powyższa pochodna jest równa zeru wartość siły jest maksymalna. Mamy więc

ł. —    n u

3

max

a stąd

Dla tej wartości

r max

_ d£/l

^dr I r=r_max

_ .ItL ~ b ■ 2 a

r³ ~ ^rmax

b

b³

27a³

czyli maksymalna wartość siły wynosi ostatecznie:

F I i³ I

73