1 (47)

53

Szeregi

3.21. Definicja. Niech będzie dany ciąg {<!„}. Sumę flp+fl_p+, + ...+fl,(p < 4) będziemy

H    »

oznaczali przez £ a„. Ciągowi {a*} będzie odpowiadał ciąg {s,,}, gdzie s„ = £ o*.

n = p    •»= *

Symbol a_l + a₁+a_i+ ... lub krócej

♦o    Z

w* 1

będziemy nazywali szeregiem nieskończonym albo po prostu szeregiem. Liczby s„ nazywamy minami częściowymi tego szeregu. Jeśli ciąg {s_a} jest zbieżny do s to będziemy mówili, że szereg jest zbieżny i pisali

00

e z twierdzeniem

Z ^an = S.

f

Liczbę s nazywamy sumą szeregu, należy jednak dokładnie zdawać sobie sprawę z tego, że s jest granicą ciągu sum, a nie wynikiem zwykłego dodawania.

Jeśli ciąg {s„} jest rozbieżny, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Czasem, dra wygody oznaczenia, będziemy rozpatrywali szeregi postaci

00

€5)    Z ^fl»-

trzymamy wynik rumianie

mamy

It =» 0

Często, gdy nie obawiamy się dwuznaczności albo gdy oznaczenia są nieistotne, będziemy pisali po prostu zamiast (4) lub (5).

Oczywiście każde twierdzenie o ciągach można sformułować w języku szeregów (przyjmując ax = S| i a„ = s_n—s„_, dla n > 1), i odwrotnie; ale mimo wszystko jest pożyteczne odróżnianie tych pojęć.

Kryterium Cauchy’ego (twierdzenie 3.11) można sformułować w następujący sposób.

3.22.    TWIERDZENIE. Szereg £a„ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego c > 0 istnieje liczba całkowita N taka, że

W    IZ 4*1 ^

jeśli m > ri > N.

W szczególności dla m = n nierówność (6) przyjmuje postać kl < e (n > N).

Innymi słowy, zachodzi następujące twierdzenie:

3.23.    Twierdzenie. Jeśli £ a„ jest zbieżny, to lim a„ = 0.

»-+ CO

Warunek a„-*0 nie jest wystarczający do zapewnienia zbieżności szeregu £a„. Na 00

ercgi są zespolone, rozpatrzyć pewne

przykład szereg Z -jest rozbieżny (dowód w twierdzeniu 3.28).

11=1

Twierdzenie 3.14 o ciągach monotonicznych ma także bezpośredni odpowiednik dla szeregów.