1tom074

4. INFORMATYKA 150

Tablica 4.10. Zera wielomianów Hermite’a i współczynniki kwadratury Gaussa-Hermite’a

n	Węzły aj	Współczynniki H}	n	Węzły aj	Współczynniki H ■
2	+0,707107	0,886227		+ 1,650680	0,081313
3	0	1,181636	5	+ 1.650680	0.945309
	+ 1,224745	0,295409		±0,958572	0,393619
4	±0.524648	0,804914		±2,020183	0,019953

Tablica 4.10 zawiera zera wielomianów Hermite’a i współczynniki kwadratury Gaussa-Hermite’a dla n = 2,3,4,5. Wielomiany Hermite'a spełniają wzór rckurencyjny

H„₊i(x) = 2xH_n(x) — 2nH_n_,(x) (n > 1)

Przykład 45. Obliczyć przybliżoną wartość całki

aC

J e'*^{1 2 3}cosxdx

dla n = 5 stosując kwadraturę Gaussa-Hermitc’a.

Korzystając z tabl. 4.10 oblicza się

j e-*‘cosxdx = 0,945309cos0 + 0,393619 cosO,958572 + 0,393619 cos( — 0,958572)+

+ 0,019953 cos2,020183 + 0,019953 cos(-2,020183) = 1,38039048 4.5.2.2. Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Dane jest równanie różniczkowe

dy

~t~ =/(*. y)

ax z warunkiem początkowym y(x₀) = y₀, gdzie funkcja f(x,y) jest ciągła w pewnym przedziale x₀ ^ x ^b, — oo < y < oo oraz spełnia warunek Lipschitza względem y

\f(x,yi)~f(x,y₂)\    L\y_t-y₂\ (L — stała)

dla każdego x i dowolnych y_lty₂-

Przyjmując pewien krok h > 0, buduje się ciąg punktów x„ = x₀ + nh, (n = 0,1,2,...). Numeryczne rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu w punktach x„ przybliżenia y„ wartości rozwiązania dokładnego y(x„), (n = 0,1,2,...).

Metoda Eulera rozwiązywania równania różniczkowego polega na przybliżeniu szukanej krzywej całkowej y = y(x) linią łamaną o wierzchołkach w punktach (x₀,y₀), (.x₁₅(.x„,y„), gdzie

x„ = x₀ + ⁿh

yn = y_n-i+hf{x„-i,y„-i) («= 1,2,...)

Oszacowanie błędu metody w n-tym kroku, czyli oszacowanie różnicy między wartością dokładną rozwiązania y{x_n) a jej przybliżeniem y_n, wyraża wzór

hN

|y„-y(xj| « —    (4.11)

gdzie: L — stała w warunku Lipschitza; N — stała spełniająca nierówność

cl/(x, >’(*))

y„₊i. = y„+ y b/(*„,y„) (n = o, 1,2,...)

a następnie znajduje się wartość przybliżenia dla n+ 1 kroku

y„+i = y„+hf(x_nĄ,y_n+^ (u = 0,1,2,...)

Oszacowanie błędu metody jest następujące:

«-H ^iV+

Ir (    N.\(l + hL + 2h³L³)"-l

2 L)

— I /V -1--I-

1H--hL

2

gdzie: L i iY jak w poprzedniej metodzie; N_{ —

d³f(x,y(x)) „

stała określona nierównością

4.5.2.3. Roz-wiązywanie równań i układów równań liniowych

Dana jest w przedziale [a,b] funkcja /(x), która spełnia warunki:

—    jest dwukrotnie różniczkowana w przedziale [a,b];

—    na krańcach przedziału ma wartości o znakach przeciwnych, tzn.f(a)f(b) < 0;

—    obie pochodne f'(x) i f"(x) w przedziale (a,b) są tego samego znaku.

Z powyższych założeń wynika, że równanie

f(x) = 0

ma w przedziale (a,b) dokładnie jeden pierwiastek .x₀. Ogólnie przyjętymi metodami obliczania przybliżonych wartości pierwiastka x₀ są metoda siecznych i metoda stycznych (Newtona).

Metoda siecznych (rys.4.1) polega na tworzeniu ciągu przybliżeńAj.A^... pierwiastka x₀. gdzie x_; (i = 1,2,...) są punktami przecięcia siecznych krzywej y = f(x) z osią 0x, poprowadzonych przez krańce przedziałów D_x (i = 1,2,...). Ciąg D_l, Ź)₂,... jest zstępującym ciągiem przedziałów' domkniętych określonych następująco:

D, = [mb]

°2 = L^xi.b], gdy f(x_l)f(h) < 0 lub D₂ = [a,a,], gdy/(x,)/(a) < 0 O₃ = [x₂,b] lub D₃ = [a,x₂],...

Kolejne przybliżenia określają poniższe wzory

m

^x2 = a, - —^X\ ^U /(ai). gdy/(Ai)/(a) < 0 lub

/(a,)-/(a)

*2 = A, - ^X\ ^b f(A,), gdy/(A,)/(b) < 0 /(Ai)—/(b)

x„ — a    x„

r/(A„) lub x„₊₁ = x„~-

r/(A„)

"    /(A„)-/(«)^J    ---------^-- --    /(A„)-/(b)-

Błąd metody E_n, dla n-tego przybliżenia x„, można oszacować według wzoru -    /(a„)|

1

Ulepszona metoda Eulera jest dokładniejsza od podanej zwyczajnej metody Eulera

2

polega na tym, że w punkcie x„₊l = x_n + —h oblicza się wartość

3

2