1tom072

4. INFORMATYKA 146

Tablica 4.6. Diagram Trasera

Wartośćm zależy od węzta środkowego a₀, kroku h, punktu obliczeniowego ,x i wyraża się wzorem

x-a₀

Różnice skończone wykorzystuje się również do oceny poprawności wartości funkcji podanych w tablicach. Tablica 4.7 przedstawia schemat rozrzutu błędu, jeśli jest obarczona nim wartość funkcji w jednym punkcie.

Sposób sprawdzania poprawności wartości funkcji podanych tabelarycznie jest następujący:

—    buduje się tablicę różnic i pojawienie się wartości naruszających regularność różnic pewnego rzędu wskazuje na błąd;

—    jeśli odchylenia od regularnych różnic mają charakter dwumienny, to wskazuje to na pojedynczy błąd;

—    jeśli odchylenia nic mają charakteru dwumienncgo, to istnieją co najmniej dwa błędy.

Tablica 4.7. Rozrzut błędów w tablicach różnic

4.5.2. Wybrane zagadnienia metod numerycznych

45.2.1. Całkowanie numeryczne

Wzór całkowania numerycznego można napisać w postaci

b    n

(4.9)

Przykład 4.2. Znaleźć błędną wartość funkcji na podstawie poniższej tablicy różnic

Widoczna jest nieregularność różnic trzeciego rzędu, a różnice piątego rzędu mają charakter dwumienny. Wskazuje na to pojedynczy błąd e = 2 wartości funkcji dla x = 6, która powinna się równać 205. W istocie tak jest, ponieważ tablica przedstawia funkcję/(x) = x* — 2x +1.

J/(A)dx = ^ HJ(ad+E

gdzie: H_t — pewne stale; a_; — węzły należące do przedziału [a,ó]; E — błąd metody.

Zagadnienie numerycznego całkowania sprowadza się do znalezienia stałych /i, i węzłów a_t takich, żeby całkowanie dawało założoną dokładność. Wyznaczenie H_i i a, jest związane z wyborem przybliżenia funkcji f(x) w przedziale [«, ó] wielomianem odpowiedniego stopnia, aby błąd E = 0. Analogicznie jak w przypadku interpolacji można wyznaczyć, że szukany stopień wielomianu wynosi 2n — 1.

Z uwagi na duże znaczenie teoretyczne i praktyczne funkcji ortogonalnych w przedziale [a, b] z funkcją wagową W(.x) (waga Wf.tjjcst funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale [<t,ć]), stosując wzór

JMx)<M*)_%(x)dx = j° ‘J⁸'/*

«    (A,- dla i — k; {/., i= 0)

można wzór całkowania numerycznego (4.9) następująco uogólnić:

‘

I Mx)f(x)dx = £ HJ(a,)+E

“    t-i

Kwadratura określona powyższym wzorem, w której węzły a_x i współczynniki H_x należy obrać tak, aby uzyskać maksymalny rząd dokładności, nazywa się kwadraturą Gaussa.

10*