212(1)

drugiego, jest większy od odpowiedniego wyrazu b„ — --- szeregu harmonicznego, -^=- > — (n = 2, 3, ...), a ponieważ szereg harmoniczny IIn    ⁿ

jest rozbieżny, to zgodnie z kryterium porównawczym, rozbieżny jest i dany szereg.

2> Każdy wyraz a„ = ~ - danego szeregu, począwszy od trzeciego, jest mniejszy od odpowiedniego wyrazu b„ nieskończonego postępu geomet-

+ 00

rycznego

5^    = -j + jr + -^r+ •••> będącego szeregiem zbieżnym,

bowiem jego iloraz q ₂ ^{< L} Dlatego, w myśl kryterium porównawczego, badany szereg jest zbieżny.

3)    Każdy wyraz a„ danego szeregu jest większy od odpowiedniego wyrazu b„ rozbieżnego szeregu harmonicznego (**), gdyż ^ — > —. W myśl kryterium porównawczego, dany szereg jest rozbieżny.

4)    Każdy wyraz a_n =    danego szeregu, począwszy od drugiego, jest mniejszy od odpowiedniego wyrazu b_n—~^ nieskończonego

postępu geometrycznego, którego iloraz wynosi q = -i- < 1. Nieskończony, malejący postęp geometryczny jest szeregiem zbieżnym, a więc badany szereg na mocy kryterium porównawczego jest zbieżny.

W zadaniach 963—966 napisać pięć początkowych wyrazów szeregu oraz sprawdzić, czy dla danego szeregu jest spełniony warunek konieczny zbieżności:

+ CO    +00

Zj «(n+l)

n= 1

965. V_sin±

n= 1

₉₆₃.    964. YU*,

,2

+ oo

i l/n²— 1

966. yig-. 3"

Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium całkowego:

• w ₁

"■Si

n=l

+®

V -.......¹ ...

(2n—3)²

-f 00

VI J

» \ -,-_T

970.

+ 0O "1

I

n=2    nJl

Zbadać zbieżność szeregów za pomocą kryterium d’Alemberta*

971. V ²”~¹.    —    ^    ³"

4-J    2"

972. y - -

/ v 2"

n=0

+ co

2ⁿ(2«+l)

974. V ⁴"-³. \ ń3"

n=l

n = I

Zbadać zbieżność szeregów wg kryterium porównawczego:

-co V—^1 — Yn+1	•1- co 976. ^
	71=1 a
+ CO V-^1— Z; 2"+l n=0	+ 00 978*. y /1=1

ln(«-f-l)

(7F

Zbadać zbieżność szeregów:

+«

979. V~—--

J^+l)³

981. V- ⁿ— .

Zj (h+1)²

n=l

+ 00

983. y.    ¹    _

7+2 Vn(n+1)

985. V ¹⁰"^2w!

Z; (2/r)!

n=l

3    3²    3³

982. 1 + -—4- + + +-J-

2! ' 3! ^ 4! ^ "•

984.

1n2 ln3 ln4 ln5

4~ ‘ ' ‘T'^rl6~ ⁺ "2r

2!    3'    41

W l+y+^ + ^+...

^ ²‘ Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregu o wyrazach dowolnych. Kryterium zbieżności szeregów przemiennych

Mówimy, ze szereg o wyrazach dowolnych (o różnych znakach)

+ 0O

(i)

^a” — °l+^c2 + 03+ •••

n= 1

. 427