261

1187.    / = x+y; >-(-1) = 0, [-1,0]

1188.    y' = 2x-y²\ y(0) = 0, [0, 1]

1189.    y' = y^l—x; j(0) =1, [0, 2]

1190*. /—0,1 / = xy; y(l) = 0, [1, 2]

§ 12. Całkowanie równań za pomocą szeregów

Całkę równania różniczkowego nie zawsze można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych lub za pomocą skończonej liczby kwadratur (cał-kowań).

W większości przypadków każde równanie różniczkowe określa pewną funkcję specjalną, którą, mówiąc ogólnie, można przedstawić tylko w postaci nieskończonego szeregu funkcyjnego.

Całki wielu równań różniczkowych, zarówno ogólne jak i szczególne, można przedstawić w postaci szeregu potęgowego, zbieżnego w pewnym przedziale wartości zmiennej niezależnej.

W takich przypadkach, szereg będący rozwiązaniem równania różniczkowego można znaleźć albo metodą współczynników nieoznaczonych, albo też metodą opartą na zastosowaniu szeregu Maclaurina (względnie szeregu Taylora).

Te właśnie metody poszukiwania szeregu, będącego całką danego równania, wyjaśnimy przy rozwiązywaniu kolejnych zadań.

dy    .

1191. Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego = y- w postaci szeregu potęgowego.

Rozwiązanie. Niech szukaną całką będzie szereg potęgowy

y — Ao+n^-f a₂.y+ ...    ...    (1)

gdzie: a₀, a_1}a„,... — stałe współczynniki, które należy wyznaczyć.

Zakładając, że powyższy szereg, spełniający równanie, istnieje i jest zbieżny w pewnym przedziale wartości x, różniczkujemy go wyraz po wyrazie i znajdujemy szereg dla ~

' 4—= a₁-f2o2r+3a3.’c²+ ... -\-m_nxⁿ~'+ ... ax

Z kolei mnożąc szereg (1) przez siebie wyraz za wyrazem otrzymamy szereg dla y²

_fl2₊2_aoa₁x+2n₀fl₂^+2flo^³+ ... +apc²+2fl₁tf₂x³-i-...

Podstawiając w danym równaniu zamiast i y² te dwa szeregi

i przyrównując współczynniki przy jednakowych potęgach .y po obu stronach równania, ponieważ tylko przy tym warunku oba szeregi będą równe tożsamościowo, otrzymamy układ równań

x° a|    a,¹;

.Y¹ 2a₂ — 2a„a,

x² 3a₃ — 2a₀a₂±a] a:³ 4a.    2a₀a_i+2a₁a₂

\

Rozwiązując ten układ równań, otrzymamy

a_x=al, a₂ — al, a_} •= a%,..., a_n = aS⁺¹,...

Wobec tego szukanym rozwinięciem całki ogólnej danego równania w szereg potęgowy będzie

y - a₀{\-\-a₀xĄ-alx^l+alxⁱ+ ... -1 a”xⁿ+ ...) gdzie jest dowolną stałą.

Otrzymany szereg przedstawia postęp geometryczny nieskończony o ilorazie q — a_ax, zbieżny dla \q\ < 1 do y - ₍ x-

Na tym przykładzie możemy do pewnego stopnia przekonać się, że metoda całkowania równań za pomocą szeregów prowadzi do poprawnych wyników, można bowiem sprawdzić, że bezpośrednie całkowanie danego równania pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych daje ten sam wynik.

1192. Znaleźć całkę szczególną równania różniczkowego y '+ -by = 0

w postaci szeregu potęgowego, przy warunku początkowym y(0) = 1, /(O) = 0.

Rozwiązanie. Zakładając, że szukana całka ma postać szeregu potęgowego zbieżnego (1), znajdujemy szeregi dla y' i y" różniczkując szereg (1) wyraz po wyrazie

y =    2a₂x+3a₂x² +-... +na^cⁿ~’¹-f- ...

y" — 2n₂+3 • 2a_yx-\-4 • 3a_Ax²-\- ... -f n(«—l)a„.Y^n-2-l- ...

Wykorzystując warunek początkowy, określamy wartości dw'óch początkowych współczynników; y(0) = ao — 1, y'(0) = fli = 0.

525