206(1)

bowiem rzuty (<r₃)_xz i (<t₄)« powierzchni ce₃ i <r₄ na płaszczyznę xOz są jednakowe.

3) Z analogicznego powodu (ze względu na parzystość funkcji podcałkowej oraz symetrią powierzchni er względem płaszczyzny xOy) całka powierzchniowa K₃ też równa się zeru

= C ± (.v²+z²-1) dxdy = 0

Ł/ *

Zatem

K Ki-Ki+Ki = ^nabc

Zadanie to można rozwiązać prościej za pomocą wzoru Gaussa — Ostrogradskiego. W tym celu wyznaczamy dywergencję pola

divp = (*)i-+(-/)'+=" 1 —2>’+2z i podstawiamy ją do wzoru (3)

K— JJ f divpdv ~ jj i (1 —2yĄ-2z)dxdydz b    ‘ o

X^z    y^z    z^z

gdzie obszarem całkowania jest elipsoida —+ — + — <!. Otrzymaną całkę potrójną przedstawiamy jako sumę całek

Zł    *1

K = f ff dxdydz—2 J J dxdz j ydy+2 j f dxdy j zdz

G    Gxz    —y\    Gxy

gdzie: * -    i, z, */,_$_ ę.

Pierwsza całka jest równa objętości obszaru G, czyli objętości elipsoidy 4

Ki — - nabc (rozdz. V, § 4).

Całki druga i trzecia są równe zeru., bowiem równe zeru są całki wewnętrzne, jako całki z funkcji nieparzystej (rozdz. V, § 2).

4

Wobec tego K=-^ziabc, tak samo jak i przy poprzedniej metodzie rozwiązywania.

946. Obliczyć dywergencję pola wektorowego:

1) r = xi+yj+zk

div/>(M) = — 2(x+y+z) ³ =f(^) —xe^xy, q, = ye~^y, q_z = xye^xy

3) <7i

Rozwiązanie. Stosujemy wzór (2). Mamy

8r_x . d

1)    divr(M)=-fc+-0_y

2)    p_x = Py=P:=^z (^x +y+^z)

8p_x _ 8p_y _ 8p_;

8x

8y

8z

3 V (x+y+z)^s

8q_x

8x

= -e^xy(l +xy)

8q,

by. ’

8q_z

8z

= 0

divę(A/) = 0

Uzyskane wyniki interpretujemy następująco:

1)    Każdy punkt pola promienia wodzącego r jest źródłem o stałym natężeniu.

2)    Punkt Al pola wektora p w zależności od swych współrzędnych (od swego położenia) może być albo źródłem, albo upustem. Na przykład: punkt M_x{0, 0, 1), w którym div/> = —2, jest upustem, a punkt M₂(—1,0,0), w którym divp = 2, jest źródłem.

3)    W polu wektora q nie ma ani źródeł, ani upustów. Jest to pole solenoi-dalue i jego strumień przez każdą powierzchnię zamkniętą jest równy zeru.

947.    Obliczyć strumień wektora wodzącego r = xi+yj-rzk: 1) przez

powierzchnię boczną walca x²+y² < R², —H < z < H, w kierunku nor. malnej zewnętrznej, 2) przez powierzchnię boczną stożka x²-^sry² < 4z², 0 < z    1, w kierunku normalnej wewnętrznej, 3) przez całkowitą powie

rzchnię sześcianu —a < x < a, —a < y < a, —a < z < a, w kierunku normalnej zewnętrznej.

948.    Obliczyć strumień pola wektorowego: 1) p — xyi+yzjĄ-xzk przez znajdującą się w pierwszej ósemce przestrzeni część sfery x²+y²A-z² = 1, ^w kierunku normalnej zewnętrznej, 2) q = x³i i-y³j+z³k przez całkowita powierzchnię stożka x²-fy² < z², 0 < z < H, w kierunku normalnej zewnętrznej.

415