422 423

422 Programowanie dynamiczne

Tablica 9.3

Wielkość przydzielonej kwoty	Moduł 1		Moduł 2		Moduł 3
	zysk	niezawodność	zysk	niezawodność	zysk	niezawodność
0	0	0,9	0	0,9	0	0.9
1	1,5	0,97	2,5	0,94	2,8	0,96
2	2,5	0,991	4,1	0,964	4,5	0,984
3	4,0	0,9973	5,5	0.9784	6.5	0,9936
4	5,0	0.9992	6,5	0.987	7,8	0,9974
5	6,2	0,9998	7,5	0,9922	9,0	0,999
6	7,3	0,9999	8	0,9953	10,2	0,9994

ności dla poszczególnych modułów. Należy rozdzielić posiadany zasób środka w taki sposób, by zmaksymalizować łączną korzyść z działalności systemu i zmaksymalizować jego niezawodność.

Rozpatrywany problem stanowi kontynuację i rozszerzenie przykładu 9.3, stąd zbiory stanów dopuszczalnych, decyzji dopuszczalnych oraz funkcje przejścia powtarzają się.

Przypuśćmy, że dysponujemy y, jednostkami środka i przydzielimy jt, jednostek dla modułu t. Wartość funkcji fl’(y,, x,) określa korzyść, jaką przynosi działalność modułu /. Wartość funkcji f,^!)(y„ x,) określa niezawodność modułu i. Korzystając z wartości zapisanych w tablicy 9.3, możemy określić kolejne wartości funkcji fi'(y„ x,) oraz ff(y_t, x,). Ponownie zauważymy, że wartości tych funkcji zależą od ilości środka przydzielonego modułowi t, natomiast nie zależą od ilości środka dostępnego na początku etapu. Mamy więc wartości funkcji f}'(y„ x,):

fi'(6, 0) = 0 Z," (6, 4) = 5	fi'(6, l)=l,5 /^(,"(6, 5) = 6,2	fi'(6, 2) = 2,5 fl\6, 6) = 7,3	fi\6, 3) = 4
/T(v2, 0) = 0 fi'(y2, 4) = 6.5	ff(y2, 1) = 2,5 5):=7,5	fl\y2, 2) = 4,1 fl\yi, 6) = 8	3) = 5,5
f"(y3, 0) = o /?On, 4) = 7,8	fP(y„ 1) = 2,8 ń'iy* 5)=9	ff(y„ 2) = 4,5 fP(y* 6) = 10,2	f?(y>, 3) = 6,5
oraz wartości funkcji /^(,^2'(y„ x,):
fV(6, 0) = 0,9 f?(6, 4) = 0,9992	/r'(6, 1) = 0,97 6, 5) = 0,9998	/'?’(6, 2) = 0,991 /<?’(6, 6) = 0,9999	/*f>(6, 3) = 0,9973
/?(.v2, 0) = 0,9 /?(.y2, 4) = 0,987	0 = 0,94 fi\y2, 5) = 0,9922	fl'{ y„ 2) = 0,964 ff(y2, 6) = 0,9953	f?(y2, 3) = 0,9784
ff()% 0) = 0,9 f?(y,. 4) = 0,9974	f?(y» 0=0,96 ffiyi, 5) = 0,999	/?(y„ 2) = 0,984 ff(y>, 6) = 0,9994	f?(y3, 3) = 0,9936

Oznaczymy przez/^(1>(yi,    y₂, x₂, y₃, x₃) zysk z działalności systemu, nato

miast przez /^<2)(yi, x,, y₂, *2, y₃, ;c₃) — niezawodność systemu. Otrzymujemy:

f⁽'\y 1,    y₂» *2, >3, JC3)=/‘i^,(y_l. ^a'i)+/ⁱ2⁾(>^,2, *2) +/'.■!’(y₃, x₃),

*1, .V₂, -r₂> >'3- x₃)=ffKy_t, X,)-fl\y₂, X₂)-f?(y₃, x₃).

Wieloetapowa wektorowa funkcja kryterium ma postać: F =[/"’,/⁽²⁾].

Oznaczymy przez F,(y„ x,) wektor, którego pierwsza składowa przedstawia zysk z działania modułu t, a druga — niezawodność działania tego modułu. Mamy:

F,(y„ x,) = \/^a,^}(y„ x,), f⁽?(y„ jc,)].

Dla łącznej oceny działania modułu drugiego i trzeciego określimy działanie o w następujący sposób:

F₂(y₂, x₂)o F.(y₃, x₂) = \fi\y₂, x₂)+f₃\y₃, x₃), fl\y₂, x₂) -f₃\y₃, *,)].

Po wykonaniu działania o pierwsza składowa otrzymanego wektora określa łączną korzyść z działania modułów drugiego i trzeciego, a druga — ich niezawodność. Innymi słowy działanie o składa się z dodawania i mnożenia, co można przedstawić następująco o = (+, •).

W taki sam sposób zdefiniowane działanie o można wykorzystać do oceny modułu pierwszego razem z łączną oceną działania modułów drugiego i trzeciego. Mamy:

F,(y„ x,)o(F₂(y₂, x₂) o F₃(y₃, x,)) =

= f/‘i^l,0’i. *|) +/^<2^,(V2, X₂) +/^<i^>(y.„ x₃); ff\y„ x,) •/₂’(y₂, x₂)-ff(y „ a:₃)|.

Oczywiście, zachodzi związek:

F(y 1, x„ y₂, x₂, y₃, x₃) = F, (y„ x,) o (F₂(y₂, x₂) o F₃(y₃, x₃)).

Poszukujemy niezdominowanych wektorów ocen w przestrzeni kryteriałnej i odpowiadających im rozwiązań sprawnych w przestrzeni decyzyjnej³. Możemy w tym celu wykorzystać wektorową wersję zasady optymalności Bellmana.

Wektorowa zasada optymalności

Strategia sprawna ma tą własność, że niezależnie od stanu początkowego i decyzji początkowej, pozostałe decyzje, muszą stanowić ciąg decyzji sprawnych ze wzglądu na stan wynikający z pierwszej decyzji.

Rozwiązywanie zadania rozpoczniemy od ostatniego etapu. Przypuśćmy, że na początku trzeciego etapu mamy do dyspozycji y₃ jednostek środka, y, 6 Y..

' For. zadanie wektorowej maksymalizacji opisane w podrozdziale 4.2.