4513

Wifllomiany

53

i

Rozwiązanie

Wykorzystamy twierdzenie sformułowane w rozwijaniu Przykładu 5.1.

a)    Szubmy pierwiastków wielomianu ił* - 4 « i (** + 4») - Pierwiastkami tego wHo-raianu H łkiby Z| * \/2(l - ■)• ** - ~N^O - »)• Żalem

i»?-44*i[* -dftl - 0] [* + >/2(l-i)J .

b)    Stukamy pierwiastków wielomianu z³ - J*^a + 3z — 1 + 8i a (z - l)³ + 8i. Zbiór pierwiastków tego wielomianu pokrywa mc ze zbiorem 1 + Korzystając ze wzoru m pierwiastki i liczb zespolonych otrzymamy

łi * 1 + 2i, rj e 1 - (V5+ i) oraz zj = 1 + (>/5- i).

Zatem

i*- J«^ł+3x-1 + 8i ■ (z - (1 +20) • [x - (l - >/5-«)] • [* - 0 +    »)) •

c)    Submy pierwiastków wiełoraiani z* - (1 - i)¹. Korzystając dwukrotnie ze wzoru a² - Ł^J * (• + i)(s - b) otrzymamy

z⁴-(l-i)^ł= [*^a + (l~i)^a) [*²-(l-0²]

= (*^a+(i - O²] (*+(i - 0) (- - (i - 0) •

Pozostały jeszcze do znalezienia pierwiastki wielomianu x⁷ + (1 - i)^J. Zbiór tych pierwiastków pokrywa się ze ze zbiorem (1 - i)¹. Jednym z elementów tego zbioru jest i(l -1) = 1 + i, a drugim -(1 + i) = -1 - i. Zatem poszukiwany rozkład ma postać

[i-(1 +■))0) # - f¹ - 0) •[* - (-1 + Ol-

• Przykład 5.4

Podane wielomiany rzeczywiste przedstawić w postaci iloczynu nierozkładsinych

czynników rzeczywistych:

i)x⁴+81; b) i⁷ -1\ c)*⁴ + x* + l.

Rozwiązanie

Wykorzystamy twierdzenie sformułowane w rozwiązaniu Przykładu 5.2.

a) Szubmy pierwiastków zespolonych wielomianu z⁴ +81. Zbiór tych pierwiastków pokrywane ze zbiorem $^81. Korzystając teru ze wzoru na pierwiastki z liczb zespolonych otrzymamy

• l*¹ -l>fit +9) [«* +1>/5z + 9].

piąty tydzień • przykłady

Uwaga. Ten sam wynik można uzyskać zapisując z⁴ + 81 w postaci różnicy kwadratów pewnych wyrażeń. Mamy

x⁴ + 81 t= (*⁴ + 18x^a + 8l) -181* = (** + 9)* - (*/2x)*

■ ((** + 9) - 3>/2z) - [(** + 9) -f 3^z).

b) Stukamy pierwiastków zespolonych wielomianu z^ł - z ■ z (/ - l). Zbiór tych pierwiastków jest sumą {0} oraz zbioru pierwiastków stopnia 6 z liczby zespolonej 1 Ponieważ

o/r 1 , \/5. 1 , >/l. , I >/3 I vG1

■ ('. J+T¹'"+T'¹-^1, t T¹'r

Zatem

(M

O x(r - l)(x +1) (t^a - X +1) (z^J + x + l).

Uwaga. Ten sam rozkład można uzyskać korzystając ze wzoru o² - 6* = (a - 6)(a + 6) oraz ze wzoru a* ± i³ er (o ± b) (o* T- oh +i³). Mamy

x^T-x = .(x*-l)-x(x¹-l)(x* + l)

= r(_r-l)(t^J + x + l)(x+l)(z²-x + l).

c) ponieważ wielomian r⁴ +x^a +1 nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc jego rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne ma postać

*⁴ + r^a +1 = (x^a + dx + k) (x^a +cx+d),

gdzie §,h,c,d € JŁ Współczynniki a,b,e,d znajdziemy rozwiązując odpowiedni układ równań. Mamy

x⁴ + x^a + 1 = x⁴ + (• + c)*³ + (b+ ac + d)x^a + («d + $c)r + U

dla kaidego r € R Zatem

« + e    = 0,

k + ne+d ■ 1,

ad+be =0,

W    -1.

Rozwiązaniem tego układu równań są czwórki liczb i ■ -I, I = h c ^s 1, i = 1 lub u — 1, k = 1, c = — 1. i/ — I. poszukiwany rozkład ma wiąc postać

x⁴ + x* +1 ■ (x^a - x +1) (x* + r + l).

Uwaga. Ten sam rozkład można uzyskać korzystając z faktu, że pierwiastkami równania dwukwadratowego x⁴ + x^a +1 = 0 są liczby

1 . >/J.    ,    1 .    .

*i*j+ •j"¹-    ** *    + T '